Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Длина дуги кривой
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14456
Страница 1 из 1

Автор:  zhur1n [ 07 фев 2012, 10:05 ]
Заголовок сообщения:  Длина дуги кривой

Пожалуйста, помогите решить задачу недобросовестному студенту :)
[math]\[\begin{gathered}y = 1 - \ln \cos x; \hfill \\x \in [0;\frac{\pi }{4}] \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Автор:  Shaman [ 07 фев 2012, 10:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

Даже недобросовестный студент может взять производную функции.
А дальше как в этой теме:
viewtopic.php?f=19&t=66

Автор:  zhur1n [ 07 фев 2012, 10:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

Так если я не ошибаюсь?
[math]\[\frac{d}{{dx}}(1 - \ln \cos x) = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\][/math]

Автор:  Shaman [ 07 фев 2012, 10:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

Всё верно

Автор:  zhur1n [ 07 фев 2012, 10:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

Помилуйте, помогите дальше решить
[math]\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {1 + \frac{{\sin {x^2}}}{{\cos {x^2}}}} } dx\][/math]

Автор:  Shaman [ 07 фев 2012, 11:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

[math]\int\limits_0^{\pi /4} {\sqrt {1 + \frac{{{{\sin }^2}(x)}}{{{{\cos }^2}(x)}}} \,dx = } \int\limits_0^{\pi /4} {\sqrt {\frac{{{{\cos }^2}(x) + {{\sin }^2}(x)}}{{{{\cos }^2}(x)}}} \,dx = \int\limits_0^{\pi /4} {\sec (x)dx = } }[/math]
[math]= \ln \left( {tg\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right)\left| \begin{gathered} \pi /4 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \ln \left( {tg\left( {\frac{{3\pi }}{8}} \right)} \right) - \ln \left( {tg\left( {\frac{\pi }{4}} \right)} \right) = \ln (\sqrt 2 + 1)[/math]

Автор:  zhur1n [ 07 фев 2012, 11:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

Спасибо огромное!!! Только что означает строчка, где sec(x)dx?

Автор:  Shaman [ 07 фев 2012, 12:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

[math]\int\limits_0^{\pi /4} {\sqrt {\frac{{{{\cos }^2}(x) + {{\sin }^2}(x)}}{{{{\cos }^2}(x)}}} \,dx = } \int\limits_0^{\pi /4} {\sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}}} \,dx = } \int\limits_0^{\pi /4} {\frac{1}{{\cos (x)}}\,dx = \int\limits_0^{\pi /4} {\sec (x)dx = } ...}[/math]
Под интегралом 1/cos(x), она также называется секанс.
Интегрировать её довольно сложно, можно считать табличной.

Автор:  zhur1n [ 07 фев 2012, 12:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Длина дуги кривой

Еще раз спасибо за подробный анализ!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/