Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14455
Страница 1 из 1

Автор:  ALENA777 [ 07 фев 2012, 01:19 ]
Заголовок сообщения:  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 07 фев 2012, 04:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Способ 1 (стандартный)

[math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx= \int\frac{x^2}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=\int\frac{x^2}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math]


[math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=\sin t\\x=2\sin t\\dx=2\cos tdt\end{matrix}\right|=\frac{1}{2}\int\frac{(2\sin t)^2}{\sqrt{1-\sin^2t}}2\cos t dt= 4\int\sin^2t\;dt=[/math]


(Например интегрируя по частям находим:)

[math]=2(t-\sin t\cos t)+C=2(\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\cos\arcsin \frac{x}{2})+C=[/math]


[math]=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{1-\big(\frac{x}{2}\big)^2}+C=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{\frac{1}{4}(4-x^2)}+C=[/math]


[math]=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math]



(Здесь мы использовали равенство[math]\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}[/math])



Способ 2 (веселый прием :puzyr:) )

Интегрируем по частям:

[math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=\int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx=-x\sqrt{4-x^2}+\int\sqrt{4-x^2}dx=[/math]


(Сделаем так, чтобы выразить [math]I[/math] через [math]-I[/math] и другие функции)

[math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math]


[math]=-x\sqrt{4-x^2}+4\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx-\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math]


[math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx-I=\cdots[/math]


Теперь вычислим интеграл [math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx[/math]

[math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx= 4\int\frac{1}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=4\int\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math]

[math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=t\\dx=2dt\end{matrix}\right|=4\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=4\arcsin t+C=4\arcsin\frac{x}{2}+C[/math]


[math]\cdots=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math]


Значит, мы получили следующее равенство:

[math]I=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math]


Из него находим искомый интеграл [math]I[/math]

[math]I=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/