| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14455 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | ALENA777 [ 07 фев 2012, 01:19 ] |
| Заголовок сообщения: | НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
| Автор: | SzaryWilk [ 07 фев 2012, 04:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
Способ 1 (стандартный) [math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx= \int\frac{x^2}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=\int\frac{x^2}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{x^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math] [math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=\sin t\\x=2\sin t\\dx=2\cos tdt\end{matrix}\right|=\frac{1}{2}\int\frac{(2\sin t)^2}{\sqrt{1-\sin^2t}}2\cos t dt= 4\int\sin^2t\;dt=[/math] (Например интегрируя по частям находим:) [math]=2(t-\sin t\cos t)+C=2(\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\cos\arcsin \frac{x}{2})+C=[/math] [math]=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{1-\big(\frac{x}{2}\big)^2}+C=2\arcsin\frac{x}{2}-x\sqrt{\frac{1}{4}(4-x^2)}+C=[/math] [math]=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math] (Здесь мы использовали равенство[math]\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}[/math]) Способ 2 (веселый прием )Интегрируем по частям: [math]I=\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=\int x\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx=-x\sqrt{4-x^2}+\int\sqrt{4-x^2}dx=[/math] (Сделаем так, чтобы выразить [math]I[/math] через [math]-I[/math] и другие функции) [math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math] [math]=-x\sqrt{4-x^2}+4\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx-\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=[/math] [math]=-x\sqrt{4-x^2}+\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx-I=\cdots[/math] Теперь вычислим интеграл [math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx[/math] [math]\int\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx= 4\int\frac{1}{\sqrt{4(1-\frac{x^2}{4}})}dx=4\int\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=[/math] [math]=\left|\begin{matrix}\frac{x}{2}=t\\dx=2dt\end{matrix}\right|=4\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=4\arcsin t+C=4\arcsin\frac{x}{2}+C[/math] [math]\cdots=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math] Значит, мы получили следующее равенство: [math]I=-x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2}+C-I[/math] Из него находим искомый интеграл [math]I[/math] [math]I=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|