| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| сходимость интеграла http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14354 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | patr [ 03 фев 2012, 09:05 ] |
| Заголовок сообщения: | сходимость интеграла |
Исследовать интеграл на сходимость при различных значениях параметра p: от 0 до бесконечности [math]\frac {sin(x^p)}{\ln(x+1)}dx[/math] Если разложить в ряд тейлора [math]sin(x^p)=x^p[/math] , а [math]\ln(x+1)=x[/math] Тогда получится [math]\frac{1}{p}x^p[/math] от 0 до бесконечности Я правильно хотя бы делаю? и что дальше? |
|
| Автор: | Shaman [ 03 фев 2012, 09:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора ) |
|
| Автор: | Shaman [ 03 фев 2012, 09:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
Попробуйте следующую идею для p=1, потом её можно обобщить: Разбить луч [0-oo) на интервалы размером Pi, и рассмотреть интеграл как бесконечную сумму знакочередующегося ряда. [math]\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int\limits_{n \cdot \pi }^{(n + 1) \cdot \pi } {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} }[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 03 фев 2012, 10:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
Полезно выполнить замену переменной [math]x^p = t[/math] при [math]p \ne 0[/math] и использовать признак Дирихле сходимости несобственного интеграла. |
|
| Автор: | patr [ 03 фев 2012, 10:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
Shaman писал(а): Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора ) Простите, а что не так в моем разложении? после замены [math]x^p=t[/math] [math]dt=px^{p-1}dx[/math] будет [math]\int\limits_0^\infty \frac{t^{\frac{1}{p}-1}sint}{p\ln(t^{\frac{1}{p}}+1)}dt[/math] |
|
| Автор: | Shaman [ 03 фев 2012, 11:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
patr писал(а): Простите, а что не так в моем разложении? Вы не можете применять такие замены для интегрирования, они используются для определения поведения функции в окрестности точки разложения. Впрочем, в данном случае это пригодится: кроме бесконечности Вы должны определить сходимость интеграла и вблизи x=0 |
|
| Автор: | patr [ 03 фев 2012, 18:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
я подсавил-то хоть верно? То, что синус ограничен я согласен, а где взять функцию, стремящуюся к нулю? Чтобы признак Дирихле использовать? |
|
| Автор: | AStriker [ 12 фев 2012, 11:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
Доброго времени суток. Проверьте меня пожалуйста.. Исследовать несобственный интеграл на сходимость. [math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math] [math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math] выделяем полный квадрат: [math]\begin{gathered}x^2 + x + 1 = 0 \hfill \\x^2 + 2x\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = \left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}}} = } \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}\mathop |\nolimits_{ - 1}^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2b + 1}}{{\sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }}[/math] Интеграл сходится. Но ответ в вольфраме там ещё 4 в числителе стоит.. Где я ошибся?
|
|
| Автор: | AStriker [ 12 фев 2012, 11:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: сходимость интеграла |
Ой! Понял. арктангенс бесконечности это есть пи/2 ответ\[math]\frac{{4\pi }}{{3\sqrt 3 }}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|