Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

сходимость интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14354
Страница 1 из 1

Автор:  patr [ 03 фев 2012, 09:05 ]
Заголовок сообщения:  сходимость интеграла

Исследовать интеграл на сходимость при различных значениях параметра p:
от 0 до бесконечности [math]\frac {sin(x^p)}{\ln(x+1)}dx[/math]
Если разложить в ряд тейлора [math]sin(x^p)=x^p[/math] , а [math]\ln(x+1)=x[/math]
Тогда получится [math]\frac{1}{p}x^p[/math] от 0 до бесконечности
Я правильно хотя бы делаю? и что дальше?

Автор:  Shaman [ 03 фев 2012, 09:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора )

Автор:  Shaman [ 03 фев 2012, 09:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

Попробуйте следующую идею для p=1, потом её можно обобщить:
Разбить луч [0-oo) на интервалы размером Pi, и рассмотреть интеграл как бесконечную сумму знакочередующегося ряда.
[math]\int\limits_0^\infty {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int\limits_{n \cdot \pi }^{(n + 1) \cdot \pi } {\frac{{\sin (x)}}{{\ln (1 + x)}}dx} }[/math]

Автор:  Prokop [ 03 фев 2012, 10:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

Полезно выполнить замену переменной [math]x^p = t[/math] при [math]p \ne 0[/math] и использовать признак Дирихле сходимости несобственного интеграла.

Автор:  patr [ 03 фев 2012, 10:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

Shaman писал(а):
Вы крайне своеобразно понимаете разложение в ряд Тейлора )

Простите, а что не так в моем разложении?
после замены [math]x^p=t[/math] [math]dt=px^{p-1}dx[/math]
будет [math]\int\limits_0^\infty \frac{t^{\frac{1}{p}-1}sint}{p\ln(t^{\frac{1}{p}}+1)}dt[/math]

Автор:  Shaman [ 03 фев 2012, 11:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

patr писал(а):
Простите, а что не так в моем разложении?

Вы не можете применять такие замены для интегрирования, они используются для определения поведения функции в окрестности точки разложения.
Впрочем, в данном случае это пригодится: кроме бесконечности Вы должны определить сходимость интеграла и вблизи x=0

Автор:  patr [ 03 фев 2012, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

я подсавил-то хоть верно? То, что синус ограничен я согласен, а где взять функцию, стремящуюся к нулю? Чтобы признак Дирихле использовать?

Автор:  AStriker [ 12 фев 2012, 11:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

Доброго времени суток. Проверьте меня пожалуйста..

Исследовать несобственный интеграл на сходимость.
[math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math]


[math]\int_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{x^2 + x + 1}}}[/math]

выделяем полный квадрат:
[math]\begin{gathered}x^2 + x + 1 = 0 \hfill \\x^2 + 2x\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = \left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

[math]\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int_{ - 1}^b {\frac{{dx}}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}}} = } \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}\mathop |\nolimits_{ - 1}^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{{2b + 1}}{{\sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }}[/math]

Интеграл сходится. Но ответ в вольфраме там ещё 4 в числителе стоит.. Где я ошибся? :(

Автор:  AStriker [ 12 фев 2012, 11:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: сходимость интеграла

Ой! Понял. арктангенс бесконечности это есть пи/2 :) ответ\
[math]\frac{{4\pi }}{{3\sqrt 3 }}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/