Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

экстремали функционала
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14268
Страница 1 из 1

Автор:  Tatali [ 31 янв 2012, 08:51 ]
Заголовок сообщения:  экстремали функционала

Доброго времени суток.... у меня проблемма с заданием... я совсем не знаю как его делать...Помогите пожалуйста

Найти все экстремали функционала J(y), удовлетворяющие указанным граничным условиям:

[math]J(y)=\int\limits_{0}^{1}(y'^2+y^2+2ye^x)\,dx;\quad y(0)=0,~~y(1)=\frac{1}{2e}[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 31 янв 2012, 09:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: экстремали функционала

Вам нужно написать и решить уравнение Эйлера-Лагранжа, затем использовать краевые условия для определения значений произвольных констант. В теоретическом разделе данного ресурса есть необходимые сведения.

Автор:  Tatali [ 31 янв 2012, 09:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: экстремали функционала

Не могли бы решить .. у меня много таких заданий... чтобы мне по примеру пробовать делать остальные...

Автор:  arkadiikirsanov [ 31 янв 2012, 09:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: экстремали функционала

Скачайте отсюда третью по списку книгу - там разобрано много подобных примеров.

Автор:  Tatali [ 31 янв 2012, 10:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: экстремали функционала

с простейшими вроде понятно... что делать когда присутствует экспонента ? (((

Автор:  arkadiikirsanov [ 31 янв 2012, 11:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: экстремали функционала

Напишите свои попытки решения с экспонентой, тогда станет ясно, чем она "мешает".

Автор:  Tatali [ 31 янв 2012, 13:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: экстремали функционала

проверьте пожалуйста правильно ли решено

Составляем уравнение Эйлера Fy-d/dx(Fy')=0 (F=y'2+y2+2yex)
2y+2ex-d/dx(2y')=0
y''-y=ex (линейное уравнение)
Решаем сначала однородное. Характеристическое уравнение λ2-1=0 имеет корни λ=±1. Общее решение
y=C1ex+C2e-x
Частное решение ищем в виде y=Axex. Подставляя в уравнение подучаем
2Aex=ex ---> A=1/2
Таким образом, общее решение уравнения Эйлера
y=C1ex+C2e-x+(x/2)ex
Из граничных условий находим
C1+C2=0
C1e+C2/e+e/2=1/(2e)
Решая систему, получаем
C1=-1/2
C2=1/2

Ответ:
y=-0.5ex+0.5e-x+(x/2)ex

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/