Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенные интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=11830
Страница 1 из 1

Автор:  Sabiko [ 18 дек 2011, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Неопределенные интегралы

[math]\int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt{x^3}+\sqrt{x^5}}=\int\frac{2\sqrt{x}d\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x^3}+\sqrt{x^5}}=\int\frac{2t%20dt}{t^5+t^3+t}}=\int\frac{2%20dt}{t^4+t^2+1}[/math]

Что-то у меня затык дальше, всякое выделение полного квадрата и замена переменной бесполезны из-за четвертой степени. Вот ещё похожая штука из Демидовича:
[math]\int\frac{dt}{t^8+t^4+1}[/math]

Какой вообще принцип решения таких дробей? И вообще рациональных дробей, где знаменатель не разлагается и его степень больше степени числителя c разницей более единицы?

Автор:  Yurik [ 18 дек 2011, 12:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Принципа не знаю. WolframAlpha даёт такое разложение
[math]{t^4} + {t^2} + 1 = \left( {{t^2} - t + 1} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right)[/math]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=si ... %81%B4%2B1

Это для знаменателя из Демидовича.

Автор:  Sabiko [ 18 дек 2011, 20:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Ок, спасибо.
Опять застопорилось:
[math]\int\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}=\int\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{1-x}}[/math]

Не вижу, где тут нужная подстановка, вроде пробовала уже и корень из икс, и всю дробь целиком - всё какая-то лажа получается.

Автор:  Ellipsoid [ 18 дек 2011, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

[math]\int\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \ dx=\left[ \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=t^2 \ \to \ x=\left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2 \right][/math] [math]=\int t \ \left[\left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2 \right]' dt[/math]

Автор:  Ellipsoid [ 18 дек 2011, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

[math]t^4+t^2+1=(t^4+2t^2+1 )- t^2=(t^2+1)^2-t^2=(t^2+1-t)(t^2+1+t)[/math]

Автор:  Ellipsoid [ 19 дек 2011, 00:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Ellipsoid писал(а):
[math]\int\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \ dx=\left[ \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=t^2 \ \to \ x=\left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2 \right][/math] [math]=\int t \ \left[\left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2 \right]' dt[/math]


А дальше можно воспользоваться методом Остроградского, хорошо описанным в учебнике Фихтенгольца.

Автор:  pewpimkin [ 26 ноя 2013, 18:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/