Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь фигуры и объём тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=1038
Страница 1 из 1

Автор:  KATE [ 12 авг 2010, 23:27 ]
Заголовок сообщения:  Площадь фигуры и объём тела

Помогите, пожалуйста, решить две задачки!

1. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением [math](x^2+y^2)^2=a^2xy[/math] в декартовых координатах. Параметр а положителен.

2. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела ограниченного поверхностями [math]z=0,~x=0,~y=0,~z=y^2+1,~x+y=1[/math]. Данное тело и его проекцию на плоскость ОХУ изобразить на чертеже.

Автор:  Alexdemath [ 14 авг 2010, 10:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Помогите, пожалуйста.

KATE писал(а):
Помогите, пожалуйста, решить две задачки!

2. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела ограниченного поверхностями z=0, x=0, y=0, z=y^2+1, x+y=1. Данное тело и его проекцию на плоскость ОХУ изобразить на чертеже.


[math]V=\int\limits_0^1{dx}\int\limits_0^{1-x}{dy}\int\limits_0^{y^2+1}{dz}=\int\limits_0^1{dx}\int\limits_0^{1-x}(y^2+1)\,dy=\int\limits_0^1\left.{\left(\frac{y^3}{3}+y\right)}\right|_0^{1-x}\,dx=[/math]

[math]=\int\limits_0^1\left(\frac{(1-x)^3}{3}+1-x\right)dx=-\int\limits_0^1\left(\frac{(1-x)^3}{3}+1-x\right)d(1-x)=[/math]

[math]=\left.{-\left(\frac{(1-x)^4}{12}+\frac{(1-x)^2}{2}\right)}\right|_0^1=-\left(0-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{12}[/math] (куб. ед.).

Проекцией области интегрирования на XY-плоскость является прямоугольный треугольник с единичными катетами (см. рис.).


Автор:  igor_vis [ 22 мар 2012, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры и объём тела

KATE писал(а):
Помогите, пожалуйста, решить две задачки!

1. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением [math](x^2+y^2)^2=a^2xy[/math] в декартовых координатах. Параметр а положителен.


Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/