Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Rifleman |
|
||
1. Вычислите производную указанного порядка [math]\frac{{{d^{11}}}}{{d{x^{11}}}}( {3 - 2x - {x^2}} ){e^x}[/math] 2. Докажите, что функция [math]f\left( x \right) = \sqrt x {e^{ - x}}[/math] удовлетворяет уравнению [math]2x{f^'} + \left( {2x - 1} \right)f = 0[/math] Применяя формулу Лейбница к этому уравнению, покажите, что функция [math]f\left( x \right) = \sqrt x {e^{ - x}}[/math] удовлетворяет еще и уравнению [math]{A_n}\left( x \right){f^{\left( {n + 1} \right)}} + {B_n}\left( x \right){f^n} + {C_n}\left( x \right){f^{\left( {n - 1} \right)}} = 0[/math] Найдите явные выражения для коэффициентов [math]{A_n}{B_n}{C_n}[/math] 3. Вычислите производную n-го порядка [math]\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left( {{e^{ - 5x}}\cos 3x} \right)[/math] 4. Постройте эскиз графика функции [math]y = \frac{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}{x}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
SzaryWilk |
|
||
Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций:
[math](u\cdot v)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}\hspace{30mm}(\textrm{L)}[/math] Подсказки: 1. Вычислите [math](3-2x-x^2)^{(n)}[/math], учтите тот факт, что [math](e^x)^{(n)}=e^x[/math] и используйте формулу (L) при [math]n=11[/math], принимая [math]u=e^x[/math] и [math]v= 3-2x-x^2[/math]. 2. Чтобы доказать, что данная функция удовлетворяет уравнению, подставляем в уравнению [math]\sqrt xe^{-x}[/math] вместо [math]f[/math]. Продифференцируйте обе части уравнения [math]2xf'+(2x-1)f=0[/math] (вычислите производную n-того порядка) с помощью (L). Дифференцируя [math]2xf'[/math] примите [math]u=f'[/math] и [math]v=2x[/math], а дифференцируя [math](2x-1)f[/math] примите [math]u=f[/math] и [math]v=2x-1[/math]. Так как производные порядка выше 2 функций [math]2x[/math] и [math]2x-1[/math] равны 0, то получите уравнение, содержащее [math]f^{(n+1)}[/math], [math]f^{(n)}[/math] и[math]f^{(n-1)}[/math] и только такие производные. Таким образом найдете [math]A_n(x), B_n(x)[/math] и [math]C_n(x)[/math]. 3. Выведите формулы для [math](e^{-5x})^{(n)}[/math] и [math](\cos 3x)^{(n)}[/math]: [math](e^{-5x})^{(n)}=(-1)^n5^ne^{-5x},\hspace{20mm}(\cos 3x)^{(n)}=...[/math] и используйте (L). 4. Исследование функции и построение графика. Последний раз редактировалось SzaryWilk 22 ноя 2011, 16:29, всего редактировалось 1 раз. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: Alexdemath, Rifleman |
|||
Rifleman |
|
||
Спасибо
|
|||
Вернуться к началу | |||
Rifleman |
|
||
Насчет 3 номера:
я сделал так: [math](cos3x)^{n}=3^{n}cos(3x+n\frac{ \pi }{2})[/math] тогда [math]\frac{d^{n} }{dx^{n} }(e^{-5x}cos3x)=.....\sum_{k=0}^{n}{-1^{n-k}5^{n-k}e^{-5x}3^{k}cos(3x+k\frac{ \pi }{2} )}[/math] но мне сказали сделать через комплексные числа, вот что я делаю: [math]Re\frac{d^{n} }{dx^{n} }(e^{(-5+3i)x}) =Re((-5+3i)^{n} e^{(-5+3i)x}).....[/math] далее где [math]cos(n \varphi)+isin (n \varphi)[/math] где [math]\varphi = \pi -arctg\frac{-3}{5}[/math] помогите, пожалуйста. Как дальше......я что-то не пойму.... |
|||
Вернуться к началу | |||
SzaryWilk |
|
||
И я не пойму. Применить здесь комплексные числа - очень интересная идея, ведь угол "симпатичен": [math]\arctan\frac{3}{5}=30.96^{\circ}[/math]
Формула у Вас почти правильна: Вы где-то потеряли [math]\binom{n}{k}[/math] и забыли поставить скобки вокруг -1. |
|||
Вернуться к началу | |||
Rifleman |
|
||
спасибо, думаю так и скажу.....
|
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |