Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нахождение производных высших порядков
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2011, 14:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2011, 13:53
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, помогите, пожалуйста, с заданиями:

1. Вычислите производную указанного порядка [math]\frac{{{d^{11}}}}{{d{x^{11}}}}( {3 - 2x - {x^2}} ){e^x}[/math]

2. Докажите, что функция [math]f\left( x \right) = \sqrt x {e^{ - x}}[/math] удовлетворяет уравнению [math]2x{f^'} + \left( {2x - 1} \right)f = 0[/math] Применяя формулу Лейбница к этому уравнению, покажите, что функция [math]f\left( x \right) = \sqrt x {e^{ - x}}[/math] удовлетворяет еще и уравнению [math]{A_n}\left( x \right){f^{\left( {n + 1} \right)}} + {B_n}\left( x \right){f^n} + {C_n}\left( x \right){f^{\left( {n - 1} \right)}} = 0[/math] Найдите явные выражения для коэффициентов [math]{A_n}{B_n}{C_n}[/math]

3. Вычислите производную n-го порядка [math]\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left( {{e^{ - 5x}}\cos 3x} \right)[/math]

4. Постройте эскиз графика функции [math]y = \frac{{\sqrt[3]{{x - 1}}}}{x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Формула Лейбница для n-ой производной произведения
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2011, 05:07 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций:

[math](u\cdot v)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}\hspace{30mm}(\textrm{L)}[/math]


Подсказки:

1. Вычислите [math](3-2x-x^2)^{(n)}[/math], учтите тот факт, что [math](e^x)^{(n)}=e^x[/math] и используйте формулу (L) при [math]n=11[/math], принимая [math]u=e^x[/math] и [math]v= 3-2x-x^2[/math].

2. Чтобы доказать, что данная функция удовлетворяет уравнению, подставляем в уравнению [math]\sqrt xe^{-x}[/math] вместо [math]f[/math].

Продифференцируйте обе части уравнения [math]2xf'+(2x-1)f=0[/math] (вычислите производную n-того порядка) с помощью (L). Дифференцируя [math]2xf'[/math] примите [math]u=f'[/math] и [math]v=2x[/math], а дифференцируя [math](2x-1)f[/math] примите [math]u=f[/math] и [math]v=2x-1[/math].
Так как производные порядка выше 2 функций [math]2x[/math] и [math]2x-1[/math] равны 0, то получите уравнение, содержащее [math]f^{(n+1)}[/math], [math]f^{(n)}[/math] и[math]f^{(n-1)}[/math] и только такие производные.
Таким образом найдете [math]A_n(x), B_n(x)[/math] и [math]C_n(x)[/math].

3. Выведите формулы для [math](e^{-5x})^{(n)}[/math] и [math](\cos 3x)^{(n)}[/math]:

[math](e^{-5x})^{(n)}=(-1)^n5^ne^{-5x},\hspace{20mm}(\cos 3x)^{(n)}=...[/math]

и используйте (L). :crazy2:

4. Исследование функции и построение графика.


Последний раз редактировалось SzaryWilk 22 ноя 2011, 16:29, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Rifleman
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение производных высших порядков
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2011, 08:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2011, 13:53
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение производных высших порядков
СообщениеДобавлено: 08 дек 2011, 16:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2011, 13:53
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Насчет 3 номера:
я сделал так: [math](cos3x)^{n}=3^{n}cos(3x+n\frac{ \pi }{2})[/math] тогда [math]\frac{d^{n} }{dx^{n} }(e^{-5x}cos3x)=.....\sum_{k=0}^{n}{-1^{n-k}5^{n-k}e^{-5x}3^{k}cos(3x+k\frac{ \pi }{2} )}[/math]
но мне сказали сделать через комплексные числа, вот что я делаю:
[math]Re\frac{d^{n} }{dx^{n} }(e^{(-5+3i)x}) =Re((-5+3i)^{n} e^{(-5+3i)x}).....[/math] далее где [math]cos(n \varphi)+isin (n \varphi)[/math] где [math]\varphi = \pi -arctg\frac{-3}{5}[/math] помогите, пожалуйста. Как дальше......я что-то не пойму....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение производных высших порядков
СообщениеДобавлено: 08 дек 2011, 19:40 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И я не пойму. Применить здесь комплексные числа - очень интересная идея, ведь угол "симпатичен": [math]\arctan\frac{3}{5}=30.96^{\circ}[/math] :D1
Формула у Вас почти правильна: Вы где-то потеряли [math]\binom{n}{k}[/math] и забыли поставить скобки вокруг -1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение производных высших порядков
СообщениеДобавлено: 08 дек 2011, 20:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2011, 13:53
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо, думаю так и скажу.....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференцирование высших порядков

в форуме Дифференциальное исчисление

Ilya2016

3

347

21 июн 2016, 00:13

ЛНДУ высших порядков

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

sova36

1

486

24 дек 2014, 18:24

Дифференциалы высших порядков

в форуме Дифференциальное исчисление

Monroe

1

359

18 май 2014, 20:05

Дифференциальные уравнения высших порядков

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

VICT0R_1945

1

247

30 сен 2016, 22:29

Производные высших порядков, тождественно равные нулю

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MAdeodata

4

447

07 фев 2017, 18:14

Python: Задача Коши для ДУ высших порядков (Рунге-Кутта)

в форуме Информатика и Компьютерные науки

Susanna Gaybaryan

1

366

08 ноя 2020, 14:10

Нахождение производных 1 и 2 порядка (проверка)

в форуме Дифференциальное исчисление

kontik2020

3

152

17 фев 2020, 21:12

Уравнения высших степеней

в форуме Алгебра

VladGreen

6

251

04 авг 2018, 19:22

Определители небольших порядков

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

lanvandance

2

157

02 янв 2019, 18:08

Решение дифференциальных уравнений различных порядков

в форуме Дифференциальное исчисление

Antosha

2

125

25 май 2020, 09:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved