Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 04 июн 2023, 17:28 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 ноя 2022, 20:05
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привет, подскажите как найти частичные производные, с чего начать. [math]\frac{\partial u}{\partial x}[/math], [math]\frac{\partial u}{\partial y}[/math], [math]\frac{\partial v}{\partial x}[/math], [math]\frac{\partial v}{\partial y}[/math], если xu − yv = 0, yu + xv = 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 04 июн 2023, 18:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из системы уравнений [math]\left\{\!\begin{aligned}
& xu+yv=0 \\
& yu+xv=1
\end{aligned}\right.[/math]
следует [math]\left\{\!\begin{aligned}
& v=\frac{x}{x^2+y^2} \\
& u=\frac{y}{x^2+y^2}
\end{aligned}\right.[/math]

Теперь дифференцируете как обычно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
carti539
 Заголовок сообщения: Re: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 04 июн 2023, 18:57 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 ноя 2022, 20:05
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По идее [math]\left\{\!\begin{aligned}
& \boldsymbol{u} =\frac{ - \boldsymbol{y} }{ \boldsymbol{x} ^{2}- \boldsymbol{y} ^{2} } \\
& v=\frac{ \boldsymbol{x} }{ \boldsymbol{x} ^{2}- \boldsymbol{y} ^{2} }
\end{aligned}\right.[/math]
. Извините, но можете мне привести пример, как, например, находиться [math]\frac{\partial u}{\partial x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 04 июн 2023, 19:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так как у задачу не сказано, что надо найти ф-ии [math]u\left( x,y \right); v\left( x,y \right)[/math], то можно еще и так :

[math]\varphi \left( x,y \right)=xu-yv=0[/math] ;

[math]\psi \left( x,y \right)=yu+xv-1 =0[/math] ;

Потом дифференцуем как неявные ф-ии :

[math]\frac{\partial \varphi}{\partial x} = u+x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial v}{\partial x} =0[/math] [math]\left( 1 \right)[/math];

[math]\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x\frac{\partial u}{\partial y}-v-y\frac{\partial v}{\partial y} =0[/math] [math]\left( 2 \right)[/math];

[math]\frac{\partial \psi }{\partial x} = y\frac{\partial u}{\partial x}+v+x\frac{\partial v}{\partial x} =0[/math] [math]\left( 3 \right)[/math];

[math]\frac{\partial \psi}{\partial y} = u+y\frac{\partial u}{\partial y}+x\frac{\partial v}{\partial y} =0[/math] [math]\left( 4 \right)[/math];

Решаем [math]\left( 1 \right)[/math] и [math]\left( 3 \right)[/math] как систему , также и [math]\left( 2 \right)[/math] и [math]\left( 4 \right)[/math] как систему и находим, то что нам нужно.

Из [math]\left( 1 \right)[/math] и [math]\left( 3 \right)[/math] например находим :

[math]\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{ xu+yv }{ x^2+y^2 }[/math] и [math]\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{ yv-xu }{ x^2+y^2 }[/math]

аналогично и из [math]\left( 2 \right)[/math] и [math]\left( 4 \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
carti539
 Заголовок сообщения: Re: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 04 июн 2023, 20:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
carti539 писал(а):
По идее [math]\left\{\!\begin{aligned}
& \boldsymbol{u} =\frac{ - \boldsymbol{y} }{ \boldsymbol{x} ^{2}- \boldsymbol{y} ^{2} } \\
& v=\frac{ \boldsymbol{x} }{ \boldsymbol{x} ^{2}- \boldsymbol{y} ^{2} }
\end{aligned}\right.[/math]
. Извините, но можете мне привести пример, как, например, находиться [math]\frac{\partial u}{\partial x}[/math]
Нет, в верхней формуле без минуса. У меня опечатка в исходной системе уравнений: я написал xu + yv = 0, а в вашей задаче было xu - yv = 0.

И вот ответ на ваш вопрос о производной:

[math]\frac{\partial u}{\partial x}=-y(x^2+y^2)^{-2} \cdot 2x=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
carti539
 Заголовок сообщения: Re: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 05 июн 2023, 18:19 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 ноя 2022, 20:05
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pirinchily
Снова привет. Извините, что снова спрашиваю, это новая тема для меня, поэтому хочу разобраться. Хочу уточнить кое-что, на первом рисунке, правильно ли я понимаю, что нужно расписать вот так, и если упростить, то получится тоже, что у вас, а на втором рисунке, разве будет не так, если решить систему( перед этим я умножил верхнюю на х, а нижнюю на y). И еще, например, [math]\frac{\partial }{\partial x}( \boldsymbol{x} \boldsymbol{u} )= \boldsymbol{u} + \boldsymbol{x} \frac{\partial \boldsymbol{u} }{\partial x}[/math], это же так решается(извините за легкий вопрос)?
Фото 1: Изображение
Фото 2: Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 05 июн 2023, 23:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
carti539,

1) Фото 1 :
второе и четвертое не будет [math]\frac{\partial }{\partial x}\left( yu \right)+\frac{\partial }{\partial x}\left( xv \right) = 1[/math][math]\frac{\partial }{\partial x}\left( yu \right)+\frac{\partial }{\partial x}\left( xv \right)= 0[/math] - так как надо дифференцировать обе стороны,
а [math]\frac{\partial \left( 1 \right) }{\partial x} =0; \frac{\partial \left( 1 \right) }{\partial y} =0[/math] - дифференцируем константы!
Такого будет и для четвертого равенства!;

2) Фото 2 :
Да Вы правильно получили, что [math]\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{ xu+yv }{ x^2+y^2 }[/math] !
Я опустил минусом для [math]\frac{\partial u}{\partial x}[/math] ;

3) Да правильно дифференцировали : [math]\frac{\partial }{\partial x} \left( xu \right) =u+x\frac{\partial u}{\partial x}[/math] - это верно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
carti539
 Заголовок сообщения: Re: Частная прозводная
СообщениеДобавлено: 08 июн 2023, 09:25 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2373
Cпасибо сказано: 302
Спасибо получено:
931 раз в 857 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
carti539 писал(а):
на втором рисунке

Чисто для ретуши - у вас на 2м рисунке в числителе стоит
xu + yv
По условию
xu = yv
Так что, для красоты, могли в числителе написать:
2xu
Получилось бы прикольное дифференциальное уравнение относительно u (шутка).

Но, как уже Exzellenz писал, можно (да и хорошо было бы) выразить u через x и y:

u = y / (y^2 + x^2)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

forpe

4

257

04 июн 2023, 09:46

Частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

vlaste

4

327

29 май 2016, 07:40

Частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

Opser

11

776

02 июл 2015, 15:04

Частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

student_math

3

312

18 мар 2015, 16:49

Частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

Xo6ut

6

423

21 фев 2015, 12:21

Частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

locked

1

269

19 апр 2014, 12:26

Частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

aleksashlc

1

37

15 мар 2024, 17:16

Частная производная функционала в МНК

в форуме Дифференциальное исчисление

quant

1

348

10 окт 2015, 03:32

Частная производная по определению

в форуме Дифференциальное исчисление

Bonaqua

1

264

22 май 2016, 22:34

Частная производная функции

в форуме Дифференциальное исчисление

gvazartin

2

186

26 ноя 2020, 15:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved