Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Уравнение
СообщениеДобавлено: 31 май 2023, 19:29 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
20 ноя 2022, 20:05
Сообщений: 93
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, если не в ту тему пишу. Решить уравнение [math]\boldsymbol{x} \frac{\partial z}{\partial x} + \boldsymbol{y} \frac{\partial z}{\partial y} = z[/math] с помощью ввода переменных [math]\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x}[/math], [math]\boldsymbol{v} = \frac{ y }{ x}[/math].
Делаю так: [math]\boldsymbol{z} ( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} ) = \boldsymbol{h} ( \boldsymbol{u} ( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} ), \boldsymbol{v} ( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} ))[/math] .

Потом [math]\frac{\partial z}{\partial x}[/math] [math]= \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\partial h}{\partial \boldsymbol{v} } \times (-\frac{ \boldsymbol{y} }{ \boldsymbol{x} ^{2} })[/math]

[math]\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial h}{\partial \boldsymbol{v} } \times \frac{ 1 }{ \boldsymbol{x} }[/math]

Потом у меня получилось что [math]\boldsymbol{z} = \boldsymbol{x} \times \frac{\partial h}{\partial \boldsymbol{u} }[/math]
И вот вопрос что дальше, какой итог, что-то я не понял.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение
СообщениеДобавлено: 01 июн 2023, 00:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуем решать так: будем искать решение в виде [math]z=f(x)g(y).[/math] Тогда [math]\frac{\partial z}{\partial x} =f'g; \quad \frac{\partial z}{\partial y}=fg'[/math]

Подставляем: [math]xf'g+yfg'=fg[/math]. Делим на [math]fg[/math]: [math]x\frac{df}{fdx}+y\frac{dg}{gdy}=1[/math] или [math]y\frac{dg}{gdx}=1-x\frac{df}{fdx}[/math]

Замечаем: левая часть не зависит от х, правая – от у, следовательно, обе не зависят ни от х, ни от у, т.е. равны константе [math]c[/math]. Уравнение распадается на два:

[math]y\frac{dg}{gdy}=c; \quad x\frac{df}{fdx}=1-c.[/math] Из первого: [math]\frac{dg}{g}=c\frac{dy}{y} \Rightarrow g(y)=g_0y^c[/math]; Из второго аналогично [math]f(x)=f_0x^{1-c}.[/math]

Окончательно: [math]\quad z(x,y)= f_0g_0x^{1-c}y^c=Ax\left( \frac{y}{x}\right)^c[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение
СообщениеДобавлено: 01 июн 2023, 01:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
carti539 писал(а):
И вот вопрос что дальше, какой итог, что-то я не понял.

У Вас получилось уравнение [math]z=u\frac{ dz }{ du }[/math], решение которого сразу находится [math]z=f\left( v \right)\cdot u[/math], где [math]f(v)[/math] - произвольная функция аргумента [math]v[/math]. Возвращаясь к старым переменным, получаем окончательное решение [math]z(x,y)=f\left( \frac{y }{x } \right)\cdot x[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение
СообщениеДобавлено: 01 июн 2023, 12:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
У Вас получилось уравнение [math]z=u\frac{ dz }{ du }[/math], решение которого сразу находится [math]z=f\left( v \right)\cdot u[/math], где [math]f(v)[/math] - произвольная функция аргумента [math]v[/math].
На каком основании произвольная функция? У меня не получается: если [math]f(v) -[/math] произвольная, попробуем подставить [math]f(v)=\sin{v} \Rightarrow z(x,y)=x\sin{\frac{y}{x}},[/math] и подстановка в исходное уравнение не приводит к тождеству.
У меня получается так: из уравнения [math]z=u\frac{d z}{d u}[/math] следует [math]z=cu,[/math] а не произвольная функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение
СообщениеДобавлено: 01 июн 2023, 12:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
попробуем подставить ... и подстановка в исходное уравнение не приводит к тождеству.

А у меня приводит к тождеству. Проверил ещё в Mathcad
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
carti539
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение
СообщениеДобавлено: 01 июн 2023, 13:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Действительно... Обсчитался, извиняюсь!
Но я так и не понял, откуда взялась произвольная функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Exzellenz "Спасибо" сказали:
carti539
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение
СообщениеДобавлено: 01 июн 2023, 13:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
оттудаже откуда берется произвольная константа в решении обыкновенного дифура.
А вообще см https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Уравнение
СообщениеДобавлено: 01 июн 2023, 14:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
вот еще
https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics
плохая статья но лучше не нашел в сети

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение гиперболы, зная фокус, уравнение директрисы,< асим

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Marlex12s1d

1

766

10 апр 2021, 12:44

Решить уравнение уравнение с обособленными переменными

в форуме Дифференциальное исчисление

Juliiii

2

308

17 май 2022, 21:03

Уравнение. ЕГЭ

в форуме Тригонометрия

kicultanya

8

415

26 дек 2016, 15:31

Уравнение

в форуме Тригонометрия

nicat

2

285

17 апр 2015, 10:54

Уравнение

в форуме Алгебра

nicat

4

547

15 апр 2015, 23:01

Уравнение

в форуме Алгебра

Dayl

2

266

17 фев 2019, 20:03

Уравнение

в форуме Тригонометрия

indra

6

428

11 май 2018, 19:23

Уравнение

в форуме Алгебра

nicat

1

282

19 апр 2015, 20:40

Уравнение

в форуме Алгебра

Kristinadefa

2

241

16 дек 2015, 20:40

Уравнение 1

в форуме Тригонометрия

Kiselev_FSO

1

222

10 фев 2019, 13:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved