Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 11 июн 2021, 18:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2021, 18:35
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть n — натуральное число, а и b — положительные числа. Через точку с координатами (a,b) проведена прямая, пересекающая оси абсцисс и ординат в точках [math]u>0[/math] и [math]v>0[/math] соответственно. Найдите уравнение прямой, для которого выражение [math]u^n+v^{n}[/math] принимает наименьшее значение. Приведите это уравнение к виду [math]αx+βy=1[/math] и в ответе укажите выражение [math]αx+βy[/math].

Что-то не понимаю, как решать. Нашел уравнение прямой [math]y = -\frac{v}{ u }x+\frac{va+ub}{ u}[/math]
Дальше по идее надо рассмотреть производную от некоторой функции,которая соответствует условию. Не понимаю, что за функция и относительно какой неизвестной будет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 11 июн 2021, 18:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexKostal писал(а):
Дальше по идее надо рассмотреть производную от некоторой функции,которая соответствует условию.

Вашу идею я не понял. Она бы была правильной, если бы у нас была функция от одной переменной. А у нас вроде как функция от двух переменных, которые связаны некоторым условием. Для начала я бы попробовал записать вот это предложение
Цитата:
А у нас вроде как функция от двух переменных, которые связаны некоторым условием.

буквами. То есть написать постановку некоторой задачи оптимизации. А дальше уже думать, как решать её.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 11 июн 2021, 18:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexKostal писал(а):
Приведите это уравнение к виду [math]αx+βy=1[/math] и в ответе укажите выражение [math]αx+βy[/math].

Я бы в ответе указал 1.

Обоснование см. в https://www.youtube.com/watch?v=mpkmvoXrCNE :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 11 июн 2021, 19:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2021, 18:35
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно попробовать выразить [math]v[/math] через [math]u[/math] например согласно условию, [math]v = -\frac{ v }{ u }*0+ \frac{ va+ub }{ u }[/math] тогда [math]v = \frac{ ub }{ u-a }[/math]. Подставим в выражение [math]v^2+u^2[/math] Допустим мы получим функцию с одной переменной [math]u[/math]. Но то ли я что-то неправильно делаю, но мне не найти точки, в которых производная равна нулю для определения экстремума. Вообще правильное направление мысли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 12 июн 2021, 17:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажется, что задача сводится к такая :
" В внутренности прямого угла дана т.М, через её надо построить прямую, такую что полученый треугольник
с вершиноми - вершину прямого угла и точек пересечения его сторон с прямую быть с минимальную площадь."

Тогда : [math]\left( \alpha x+ \beta y=1 \right) \equiv \left( \frac{ x }{ 2a } +\frac{ y }{ 2b } =1 \right)[/math] т.е.

в ответ надо записать : [math]\frac{ x }{ 2a } +\frac{ y }{ 2b }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 12 июн 2021, 22:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2021, 18:35
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неправильный ответ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 13 июн 2021, 09:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexKostal писал(а):
Вообще правильное направление мысли?

Если что-то получается, то правильное. А что получается? Хотя бы для малых n задачу удалось решить? Наверное направлений мысли тут может быть много. Какие из них правильные, сразу сказать трудно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 13 июн 2021, 13:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 фев 2021, 18:35
Сообщений: 42
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math](\frac{ ub }{ u-a })^n+u^n[/math] При каком уравнении прямой данное выражение принимает наименьшее значение???? Это же можно свести к вопросу при каких [math]u[/math] данное выражение принимает минимальное значение? Если решать через уравнение, производная в котором равна 0,то оно не решаемо. В точках, где функция не дифференцируется тоже не может быть экстремумов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 13 июн 2021, 15:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexKostal писал(а):
,то оно не решаемо.

Ну, решите задачу хотя бы для n=1 и n=2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремумы функции
СообщениеДобавлено: 15 июн 2021, 11:47 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]F(u,v)= u^{n} +v^{n}[/math];
Согласно условия задачу, искомая прямая :
1) отсекает от координатных осей [math]u> 0,v > 0[/math] ;
2) т.(a,b) [math]\in[/math] прямую, тогда из связ площадьи трёх треугольников с вершинами :
2.1) [math](u,0);(0,v);(0,0);[/math]
2.2) [math](u,0);(a,b);(0,0);[/math]
2.3) [math](a,b);(0,v);(0,0);[/math]
следует, что :
[math]\frac{ uv }{ 2 } = \frac{ bu }{ 2 }+ \frac{ av }{ 2 } \Rightarrow uv-bu-av=0[/math]
Тогда решение задачи сводится к отыскания :
[math]\min_{u,v}F(u,v) = \min_{u,v}\left( u^{n} +v^{n} \right)[/math];
при условие :
[math]G(u,v)= uv-bu-av=0[/math]
Это типичная задача : "нахождения условного экстремума(условие здесь [math]G(u,v)= uv-bu-av=0[/math]) ф-ю
[math]F(u,v)= u^{n} +v^{n}[/math]" и решается методом неопределённых множители Лагранжа.

searcher писал(а):
Ну, решите задачу хотя бы для n=1 и n=2.

Для [math]n= 1[/math] будет :
[math]\Phi (u,v)=\min_{u,v} \left( u+v + \lambda (uv-bu-av)\right)[/math]
получается систему :[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{\partial \Phi (u,v)}{\partial u} =1+ \lambda \left( v-b\right) =0 \\
& \frac{\partial \Phi (u,v)}{\partial v} =1+ \lambda \left( u-a \right) = 0 \\
& uv-bu-av=0
\end{aligned}\right.[/math]


После решение которую, одно из решение будет :

[math]u= \frac{ a+2\sqrt{ab} }{ 2 }; v = \frac{ b\left( a+2\sqrt{ab} \right) }{ 2\sqrt{ab}-a }[/math]

Для [math]n= 2[/math] будет :
[math]\Phi (u,v)=\min_{u,v} \left( u^2+v^2 + \lambda (uv-bu-av)\right)[/math]
получается систему :[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{\partial \Phi (u,v)}{\partial u} =2u+ \lambda \left( v-b\right) =0 \\
& \frac{\partial \Phi (u,v)}{\partial v} =2v+ \lambda \left( u-a \right) = 0 \\
& uv-bu-av=0
\end{aligned}\right.[/math]
- чуть более сложная, но решимая.
P.S=
Для крайнего решения т.е. уравнение прямую в виде [math]\alpha u+ \beta v= 1[/math] , достаточно
найти только одну из точек пересечения координатных осей [math]u > 0[/math] или [math]v > 0[/math],
так как т.(а,в) тоже принадлежить прямую.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 24 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти экстремумы функции

в форуме Дифференциальное исчисление

dssdf16

6

713

12 фев 2021, 20:55

найти экстремумы функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Sasha_mirz

3

314

12 фев 2021, 15:42

Локальные экстремумы функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Irishka09

1

306

11 дек 2015, 11:39

Исследование функции на экстремумы

в форуме Алгебра

PavelFedorov

3

164

17 янв 2022, 19:32

Исследование функции на экстремумы

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

userriop1

3

511

14 янв 2018, 21:01

Найдите экстремумы функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Maygli

1

81

05 янв 2024, 08:30

Экстремумы функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

telminG

4

323

08 июн 2018, 00:50

Найти условные экстремумы функции

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

xnalio

2

166

27 июн 2021, 18:50

Исследование функции (найти экстремумы)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DannyO

3

263

13 мар 2016, 16:34

Экстремумы функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Ryslannn

6

362

15 июн 2017, 11:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved