Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
AGN |
|
|
Появились сомнения по поводу следующей задачи. Проверить, является ли дифференцируемой в нуле функция [math]f\left( x,y \right) = \left\{\!\begin{aligned} & \frac{ xy^{2} }{ x^{2} + y^{2} }, \left( x,y \right) \ne 0 \\ & 0, \left( x,y \right) = \left( 0,0 \right) \end{aligned}\right.[/math] Проверил непрерывность - есть. Обе частные производные в нуле равны нулю. Обе ч.п. в окрестности нуля [math]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{ y^{4} - x^{2}y^{2} }{ \left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} }[/math] [math]\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{ 2x^{3}y }{ \left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} }[/math] не являются непрерывными в нуле. Позволяет ли это сделать вывод о том, что функция не дифференцируема в нуле? Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
AGN писал(а): Обе ч.п. в окрестности нуля не являются непрерывными в нуле. Из этого отсутствие или наличие производной в нуле не следует. Найдите частные производные в нуле по определению |
||
Вернуться к началу | ||
AGN |
|
|
MihailM писал(а): AGN писал(а): Обе ч.п. в окрестности нуля не являются непрерывными в нуле. Из этого отсутствие или наличие производной в нуле не следует. Найдите частные производные в нуле по определению По определению обе равны нулю. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Теперь для дифференцируемости надо доказать, что [math]\frac{ f(x,y) }{ \sqrt{x^2+y^2} }[/math] стремится к нулю при (x,y) стремящемся к нулю. Соответственно, если предела нет, то функция не дифференцируема
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали: AGN |
||
AGN |
|
|
Благодарю.
|
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
По-моему, то что я написал не совсем понятно)
Думал вопросы будут. Распишу для потомков немного) Не все знают что значит дифференцируемость функции нескольких переменных (в отличие от дифференцируемости функции одного переменного). Для функции 2 переменных это следующее равенство: [math]\Delta f = A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})[/math] В нашем случае это превращается в то, что я написал. |
||
Вернуться к началу | ||
Pirinchily |
|
|
AGN,
У ф-и нескольких переменных могут и быть частные производные в данную точку, а ф-я быть разрывной в эту точку. Например : У ф-ию [math]f(x,y)= \left\{\!\begin{aligned} & \frac{ xy }{ x^2+y^2 }, x^2+y^2 \ne 0 \\ & 0,(x=0,y=0) \end{aligned}\right.[/math] [math]f(x,0)= f(0,y)=0[/math] , так что эта ф-я дифференцируема в начало как спрямо x, так и спрямо y, но она разрывна в т. [math](0,0)[/math] , так как [math]\lim_{\substack{ \frac{ 1 }{ n } \to 0 \\ \frac{ 1 }{ n } \to 0 }} =\frac{\frac{ 1 }{ n } \cdot \frac{ 1 }{ n } }{ \frac{ 1 }{ n^2 }+ \frac{ 1 }{ n^2 }} =\frac{ 1 }{ 2 } \ne 0 .[/math] Так что здесь есть существенную разницу от функцию одной переменной у каторой если производной в данную точку - то она и неперерывна в этой точку! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали: AGN |
||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Дифференцируемость ФКП | 1 |
135 |
10 дек 2020, 22:13 |
|
Дифференцируемость функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
243 |
26 янв 2016, 06:34 |
|
Дифференцируемость функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
244 |
21 ноя 2017, 20:53 |
|
Уравения и дифференцируемость | 1 |
215 |
27 сен 2016, 15:04 |
|
Дифференцируемость и аналитичностьй | 2 |
229 |
19 сен 2014, 20:01 |
|
Дифференцируемость функций
в форуме Дифференциальное исчисление |
8 |
598 |
07 июл 2015, 18:39 |
|
Дифференцируемость функций
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
316 |
26 дек 2016, 18:31 |
|
Исследовать на дифференцируемость
в форуме Ряды |
0 |
294 |
23 дек 2016, 11:56 |
|
Дифференцируемость функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
168 |
13 июн 2019, 17:18 |
|
Возрастание и дифференцируемость функции
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
317 |
26 янв 2016, 14:19 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |