Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Дифференцируемость ФНП
СообщениеДобавлено: 12 май 2021, 22:01 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток.
Появились сомнения по поводу следующей задачи.
Проверить, является ли дифференцируемой в нуле функция

[math]f\left( x,y \right) = \left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ xy^{2} }{ x^{2} + y^{2} }, \left( x,y \right) \ne 0 \\
& 0, \left( x,y \right) = \left( 0,0 \right)
\end{aligned}\right.[/math]


Проверил непрерывность - есть.
Обе частные производные в нуле равны нулю.
Обе ч.п. в окрестности нуля

[math]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{ y^{4} - x^{2}y^{2} }{ \left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} }[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{ 2x^{3}y }{ \left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} }[/math]

не являются непрерывными в нуле.

Позволяет ли это сделать вывод о том, что функция не дифференцируема в нуле?
Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость ФНП
СообщениеДобавлено: 12 май 2021, 22:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN писал(а):
Обе ч.п. в окрестности нуля
не являются непрерывными в нуле.

Из этого отсутствие или наличие производной в нуле не следует.
Найдите частные производные в нуле по определению

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость ФНП
СообщениеДобавлено: 12 май 2021, 22:33 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
AGN писал(а):
Обе ч.п. в окрестности нуля
не являются непрерывными в нуле.

Из этого отсутствие или наличие производной в нуле не следует.
Найдите частные производные в нуле по определению


По определению обе равны нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость ФНП
СообщениеДобавлено: 12 май 2021, 22:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь для дифференцируемости надо доказать, что [math]\frac{ f(x,y) }{ \sqrt{x^2+y^2} }[/math] стремится к нулю при (x,y) стремящемся к нулю. Соответственно, если предела нет, то функция не дифференцируема

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
AGN
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость ФНП
СообщениеДобавлено: 12 май 2021, 23:06 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2018, 22:06
Сообщений: 830
Cпасибо сказано: 209
Спасибо получено:
245 раз в 225 сообщениях
Очков репутации: 38

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Благодарю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость ФНП
СообщениеДобавлено: 12 май 2021, 23:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6077
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, то что я написал не совсем понятно)
Думал вопросы будут.
Распишу для потомков немного)
Не все знают что значит дифференцируемость функции нескольких переменных (в отличие от дифференцируемости функции одного переменного).
Для функции 2 переменных это следующее равенство: [math]\Delta f = A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})[/math]
В нашем случае это превращается в то, что я написал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Дифференцируемость ФНП
СообщениеДобавлено: 12 май 2021, 23:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AGN,
У ф-и нескольких переменных могут и быть частные производные в данную точку, а ф-я быть разрывной
в эту точку.
Например :
У ф-ию [math]f(x,y)= \left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ xy }{ x^2+y^2 }, x^2+y^2 \ne 0 \\
& 0,(x=0,y=0)
\end{aligned}\right.[/math]


[math]f(x,0)= f(0,y)=0[/math] , так что эта ф-я дифференцируема в начало как спрямо x, так и
спрямо y, но она разрывна в т. [math](0,0)[/math] , так как

[math]\lim_{\substack{ \frac{ 1 }{ n } \to 0 \\ \frac{ 1 }{ n } \to 0 }} =\frac{\frac{ 1 }{ n } \cdot \frac{ 1 }{ n } }{ \frac{ 1 }{ n^2 }+ \frac{ 1 }{ n^2 }} =\frac{ 1 }{ 2 } \ne 0 .[/math]

Так что здесь есть существенную разницу от функцию одной переменной
у каторой если производной в данную точку - то она и неперерывна в этой точку!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Pirinchily "Спасибо" сказали:
AGN
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференцируемость ФКП

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Rxgd

1

135

10 дек 2020, 22:13

Дифференцируемость функции

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

1

243

26 янв 2016, 06:34

Дифференцируемость функции

в форуме Дифференциальное исчисление

Sever

2

244

21 ноя 2017, 20:53

Уравения и дифференцируемость

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Paloondra

1

215

27 сен 2016, 15:04

Дифференцируемость и аналитичностьй

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

DeusEx

2

229

19 сен 2014, 20:01

Дифференцируемость функций

в форуме Дифференциальное исчисление

SWebS

8

598

07 июл 2015, 18:39

Дифференцируемость функций

в форуме Дифференциальное исчисление

vladislavmurencov

1

316

26 дек 2016, 18:31

Исследовать на дифференцируемость

в форуме Ряды

NatashaBrin

0

294

23 дек 2016, 11:56

Дифференцируемость функции

в форуме Дифференциальное исчисление

kare

1

168

13 июн 2019, 17:18

Возрастание и дифференцируемость функции

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

4

317

26 янв 2016, 14:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved