Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Torus |
|
|
Друзья, есть интересная задача: придумать такую функцию одной переменной вещественного аргумента что сама функция и её первая производная ограничены, а вот вторая производная - неограничена, предполагается что функция определена на всей вещественной прямой: [math]|f(x)|<C_1, |f'(x)|<C_2, f''(x)[/math] ограничить постоянной нельзя. [math]C_1, C_2[/math] - постоянные. Я, в общем и целом наугад, перебрала несколько функций и всё неудачно: [math]\sin (x^2), \frac {1}{1+x^2}, 2^{\sin x}[/math] и т.д. В процессе этого перебора появилась такая мысль - предположить что каким-то образом найденный переход "ограничена-неограничена" и есть искомое решение задачи - то есть как бы сдвинуть всё "влево" на один шаг. Например, взять функцию [math]\sin (x^2)[/math]. Её первая производная [math]2x\cos (x^2)[/math]. Допустим теперь что это и есть неограниченная вторая производная. Тогда сама функция - есть первая ограниченная производная. Значит остаётся найти такую функцию производная от которой и есть [math]\sin (x^2)[/math]. Но этот интеграл в элементарных функциях по-моему не существует. Какие будут идеи? |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Torus писал(а): Но этот интеграл в элементарных функциях по-моему не существует. Ну и что? Поскольку функция [math]\sin x^2[/math] непрерывна на [math]\mathbb{R}[/math], то ничто нам не мешает рассмотреть функцию [math]f(x)=\int\limits_0^x\sin t^2\,dt[/math] и утверждать, что она является первообразной функции [math]\sin x^2[/math] по основной теореме матанализа. Другое дело обосновать ограниченность функции [math]f(x)[/math]. Самым простым, на мой взгляд, будет замена [math]t=\sqrt z[/math] в интеграле и использование признака Дирихле сходимости несобственного интеграла [math]f(\infty)[/math]. Тогда [math]f(x)[/math] непрерывна на [math]\mathbb{R}[/math] и имеет конечные пределы на бесконечностях, значит она ограничена. Можно рассмотреть пример попроще: [math]f(x)=\left\{\!\begin{aligned}\frac{\sin x^2}x&,\ x\ne0 \\0&,\ x=0\end{aligned}\right.[/math] Легко видеть, что эта функция бесконечно дифференцируема на [math]\mathbb{R}[/math] (действительно, при [math]x\ne0[/math] она элементарна, а в точке [math]x=0[/math] представляется сходящимся рядом Тейлора). Непосредственным дифференцированием легко убедиться, что её первая производная ограничена, а вторая неограничена. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Torus |
||
Torus |
|
|
Спасибо. Потопталась вокруг лёгкого решения - и ушла от него (как всегда).
Хорошая идея - поделить на икс, всё верно. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |