Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Наименьший объем пирамиды (задача на экстремум)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=32665
Страница 1 из 1

Автор:  ketchup_ru [ 20 апр 2014, 18:54 ]
Заголовок сообщения:  Наименьший объем пирамиды (задача на экстремум)

Здравствуйте. Имеется такое задание:
Даны три точки [math]A(1; 0; 1)[/math], [math]B(1; 1; 1)[/math], [math]C(1; 1; 0)[/math]. В шаре [math]x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant 1[/math] найти точку [math]S[/math] такую, чтобы объем пирамиды [math]SABC[/math] был наименьшим.
Решая это задания столкнулся с некоторыми трудностями. Прошу подсказать, что я делаю не так.

Объем любой пирамиды у нас по формуле [math]V = \frac{ 1 }{ 3 } S h[/math]
Пусть [math]ABC[/math]- основание. Ее площадь будет равна [math]0.5[/math], следовательно объем пирамиды равен [math]V=\frac{ 1 }{ 6 }h[/math]

Получается, что осталось найти такую [math]h[/math], чтобы объем получился наименьшим. А [math]h[/math], это расстояние от плоскости [math]ABC[/math]до какой-то точки в области [math]x^{2} + y^{2} + z^{2} \leqslant 1[/math]
Уравнением плоскости для [math]ABC[/math]будет [math]1-x=0[/math]

Начиная с этого момента (а может и раньше), у меня все идет наперекосяк.
Составляем уравнение расстояния от точки до плоскости. Получается [math]h=|-x+1|[/math]
Как делать правильно дальше, я не пойму. Исследовал функции с указанными ограничениями в условии на экстремум. Всегда получалось, что точка [math]S[/math] имеет координаты [math](1; 0; 0)[/math] и [math]V=0[/math]
Может, нужно в какой-то момент пойти другим путем? Буду благодарен за помощь!

Автор:  vvvv [ 21 апр 2014, 12:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Наименьший объем пирамиды (задача на экстремум)

Иллюстрация к задаче.
Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/