Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Не могу найти ошибку
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=32659
Страница 1 из 2

Автор:  Veinar [ 20 апр 2014, 16:45 ]
Заголовок сообщения:  Не могу найти ошибку

Нужно найти дифференциал неявно заданной функции:
[math]2^{x^2+y^2}-sin(xy)=x[/math]
[math](2^{x^2+y^2})'-sin(xy)'=x'[/math]
Потом считал производные отдельно
[math](2^{x^2+y^2})'=2^{x^2+y^2}*(ln2*(x^2+y^2))'=2^{x^2+y^2}(0+(2x+2yy')*ln2)=2^{x^2+y^2}ln2*(2x+2yy')[/math]
и вот тут на втором шаге преподаватель говорит, что я не правильно преобразовал через ln, но я ошибку не могу найти, так как
[math]2^{x^2+y^2}=e^{ln2^{(x^2+y^2)}}=e^{(x^2+y^2)*ln2}[/math]

или я что-то сделал не так?

Автор:  Wersel [ 20 апр 2014, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Да вроде верно все. Правда ноль там лишний, так как [math](C \cdot (f(x)))' = C \cdot f'(x)[/math], но он сути не меняет.

Автор:  pewpimkin [ 20 апр 2014, 16:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Ответ получился правильный, а оформление нет: зачем от логарифма брать производную.
(2^t)'= 2^t*ln2*(t)'

Автор:  Wersel [ 20 апр 2014, 17:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

pewpimkin
Производная от логарифма скорее всего вышла из того, что [math](f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)[/math]

Автор:  Yurik [ 20 апр 2014, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Ответ верный, но после первого же равно скобки расставлены неверно.
[math]\left( {{2^{{x^2} + {y^2}}}} \right){'_x} = {2^{{x^2} + {y^2}}}\ln 2 \cdot \left( {{x^2} + {y^2}} \right)' = {2^{{x^2} + {y^2}}}\ln 2 \cdot \left( {2x + 2yy'} \right)[/math]

Автор:  Veinar [ 20 апр 2014, 17:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Yurik писал(а):
Ответ верный, но после первого же равно скобки расставлены неверно.
pewpimkin писал(а):
Ответ получился правильный, а оформление нет: зачем от логарифма брать производную.
(2^t)'= 2^t*ln2*(t)'

[math]2^{x^2+y^2}=e^{ln2^{(x^2+y^2)}}=e^{(x^2+y^2)*ln2}[/math]
берем производную от e, а затем производную степени
[math](e^{(x^2+y^2) \cdot ln2})'=e^{(x^2+y^2) \cdot ln2} \cdot({(x^2+y^2) \cdot ln2})'=2^{x^2+y^2}\cdot({(x^2+y^2) \cdot ln2})'[/math]
Получается как написал
Wersel писал(а):
pewpimkin
Производная от логарифма скорее всего вышла из того, что [math](f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)[/math]

Или это не правильно?

Автор:  Wersel [ 20 апр 2014, 17:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Veinar
Если представлять исходную функцию через экспоненту -- то верно, но этого не надо делать, так как известно, что [math](a^{f(x)})' = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x)[/math]

Автор:  Veinar [ 20 апр 2014, 18:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Wersel писал(а):
Veinar
Если представлять исходную функцию через экспоненту -- то верно, но этого не надо делать, так как известно, что [math](a^{f(x)})' = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x)[/math]

А если например вот такой случай:
[math]y=(\cos{x})^\operatorname{arctg}(x+ \frac{ \Pi }{ 4 } )[/math]
И сделать по той формуле, которую вы написали
[math]y'={(\cos{x})^\operatorname{arctg}(x+ \frac{\Pi}{4})} \cdot \ln{\cos{x} \cdot (\operatorname{arctg}(x+\frac{ \Pi }{ 4 } ) } )'[/math]
А если брать через экспоненту, то получится:
[math]y'={(\cos{x})^\operatorname{arctg}(x+ \frac{\Pi}{4})} \cdot (\ln{\cos{x} \cdot \operatorname{arctg}(x+\frac{ \Pi }{ 4 } ) } )'[/math]
И вот тут ответы уже получатся разные, как же поступить в этом случае?

Автор:  pewpimkin [ 20 апр 2014, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Veinar, Wersel не писал Вам формулу на эту функцию. В его формуле, заметьте основание степени не функция, а число

Автор:  Wersel [ 20 апр 2014, 18:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу найти ошибку

Veinar писал(а):
И сделать по той формуле, которую вы написали

Та формула только для выражений вида [math]a^{f(x)}[/math], где [math]a[/math] -- константа (число), а у Вас тут [math]f(x)^{g(x)}[/math], и тут два способа, либо экспонента, либо логарифмическая производная.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/