Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти производную n-го порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=32549
Страница 1 из 1

Автор:  vaytrel [ 16 апр 2014, 05:18 ]
Заголовок сообщения:  Найти производную n-го порядка

найти производную n-го порядка

[math]y(x)=x^{2}\sin^{2}(5x-1)+\ln(1+x)[/math]

первые 4 производных получились такими:

[math]y'=(x+1)^{-1} +x(x\frac{ 5 }{ 2 } 2\sin(5x-1)-\cos(5x-1)+1)[/math]
[math]y''=10x\sin(5x-1)-(x+1)^{-2} -\cos(5x-1)+\frac{ 25 }{ 2 } x^{2} \cos(5x-1)+1[/math]
[math]y''' =2(x+1)^{-3} +75x\cos(5x-1)+sin(5x-1)(\frac{ -125 }{ 2 } x^{2} +15)[/math]
[math]y^{IV} =\cos(5x-1)(\frac{ -625 }{2}x^{2} +150)-6(x+1)^{-4} -500x\sin(5x-1)[/math]

как теперь свести это к n?

Автор:  Prokop [ 17 апр 2014, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную n-го порядка

Трудность возникает при дифференцировании слагаемого типа
[math]x^2\sin ax[/math]
Может быть, этот способ поможет

[math]\begin{aligned}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left({{x^2}\sin ax}\right) &= \frac{{{\partial ^n}}}{{\partial{x^n}}}{\left.{\left({\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({{e^{px}}\sin ax}\right)}\right)}\right|_{p = 0}}={\left.{\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({\frac{{{\partial ^n}}}{{\partial{x^n}}}\left({{e^{px}}\sin ax}\right)}\right)}\right|_{p = 0}}\\ &= \frac{1}{{2i}}{\left.{\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({\frac{{{\partial ^n}}}{{\partial{x^n}}}\left({{e^{\left({p + ai}\right)x}}-{e^{\left({p - ai}\right)x}}}\right)}\right)}\right|_{p = 0}}=\\ &= \frac{1}{{2i}}{\left.{\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({{{\left({p + ai}\right)}^n}{e^{\left({p + ai}\right)x}}-{{\left({p - ai}\right)}^n}{e^{\left({p - ai}\right)x}}}\right)}\right|_{p = 0}}\end{aligned}[/math]

Автор:  Radley [ 18 апр 2014, 16:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную n-го порядка

Мне кажется, что и формула Лейбница помогла бы для первого слагаемого.

Автор:  Prokop [ 19 апр 2014, 08:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную n-го порядка

Да, конечно, так проще.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/