| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти производную n-го порядка http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=32549 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | vaytrel [ 16 апр 2014, 05:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти производную n-го порядка |
найти производную n-го порядка [math]y(x)=x^{2}\sin^{2}(5x-1)+\ln(1+x)[/math] первые 4 производных получились такими: [math]y'=(x+1)^{-1} +x(x\frac{ 5 }{ 2 } 2\sin(5x-1)-\cos(5x-1)+1)[/math] [math]y''=10x\sin(5x-1)-(x+1)^{-2} -\cos(5x-1)+\frac{ 25 }{ 2 } x^{2} \cos(5x-1)+1[/math] [math]y''' =2(x+1)^{-3} +75x\cos(5x-1)+sin(5x-1)(\frac{ -125 }{ 2 } x^{2} +15)[/math] [math]y^{IV} =\cos(5x-1)(\frac{ -625 }{2}x^{2} +150)-6(x+1)^{-4} -500x\sin(5x-1)[/math] как теперь свести это к n? |
|
| Автор: | Prokop [ 17 апр 2014, 21:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти производную n-го порядка |
Трудность возникает при дифференцировании слагаемого типа [math]x^2\sin ax[/math] Может быть, этот способ поможет [math]\begin{aligned}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left({{x^2}\sin ax}\right) &= \frac{{{\partial ^n}}}{{\partial{x^n}}}{\left.{\left({\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({{e^{px}}\sin ax}\right)}\right)}\right|_{p = 0}}={\left.{\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({\frac{{{\partial ^n}}}{{\partial{x^n}}}\left({{e^{px}}\sin ax}\right)}\right)}\right|_{p = 0}}\\ &= \frac{1}{{2i}}{\left.{\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({\frac{{{\partial ^n}}}{{\partial{x^n}}}\left({{e^{\left({p + ai}\right)x}}-{e^{\left({p - ai}\right)x}}}\right)}\right)}\right|_{p = 0}}=\\ &= \frac{1}{{2i}}{\left.{\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial{p^2}}}\left({{{\left({p + ai}\right)}^n}{e^{\left({p + ai}\right)x}}-{{\left({p - ai}\right)}^n}{e^{\left({p - ai}\right)x}}}\right)}\right|_{p = 0}}\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Radley [ 18 апр 2014, 16:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти производную n-го порядка |
Мне кажется, что и формула Лейбница помогла бы для первого слагаемого. |
|
| Автор: | Prokop [ 19 апр 2014, 08:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти производную n-го порядка |
Да, конечно, так проще. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|