Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вписать параллелепипед в эллипсоид
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=32509
Страница 1 из 1

Автор:  AlterEgo [ 14 апр 2014, 16:39 ]
Заголовок сообщения:  Вписать параллелепипед в эллипсоид

Здравствуйте. В эллипсоид [math]\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}+z^2=1[/math] вписать параллелепипед наибольшего объёма. Задача на условных экстремум фнп.

По имеющимся данным, есть вариант решения такой: с помощью аффинных преобразований свести эллипсоид к сфере, потом найти максимальный объём для параллелепипеда в этой сфере и затем, снова с помощью аффинных преобразований, вернуться к эллипсоиду, а также учесть переход в эллипсоид при пересчёте объема.
Когда попытался решить задачу с использованием этого алгоритма, встретился сразу с несколькими трудностями:
    1) Как корректно перевести каноническое уравнение эллипсоида в уравнение сферы? Более всего волнует вопрос радиуса. (Ну и правильного оформления, т.к. никогда такими делами не занимался)
    2) Говорят, что нахождение максимального по объёму параллелепипеда, вписанного в сферу - тривиальная задача. Однако, тут тоже есть вопросы. 1. Сами вычисления (я их провёл, но нет уверенности в корректности результата). 2. Строгое доказательство, что это действительно максимальный по объёму параллелепипед.
    3) Как перенести всё это дело, с частного случая сферы, на случай нашего конкретного эллипсоида? (Объём, ну и, опять же, оформление.)

Это единственное задание из того, что задали, которое не получается уже длительное время решить. Надеюсь на вашу помощь.
Заранее благодарю!

P.S. Решал с помощью функции Лагранжа. Со сферой, в части доказательства максимума, в результате моих изысканий, получилось, что это, наоборот, минимум объёма. (Скорее всего ошибка). Пытался действовать не по этому алгоритму: исследовал функцию [math]V=xyz[/math](эту же функцию исследовал, в случае со сферой) на экстремум с условием в виде данного уравнения эллипсоида, но там все главные миноры обнулились, в связи с чем, сделать вывод о том, верно решено или нет, не могу.

Автор:  Prokop [ 15 апр 2014, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид

Есть ещё способ. Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел
[math]\sqrt[3]{{abc}}\leqslant \frac{1}{3}\left({a + b + c}\right)[/math]
Это неравенство превращается в равенство, если числа [math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] одинаковы.
Считаем, стороны параллелепипеда параллельны осям эллипсоида. Пусть [math]\left({x,y,z}\right[/math]) - координаты вершины параллелепипеда в первом октанте.
Тогда объём параллелепипеда равен [math]V = 8xyz[/math].
Далее
[math]\sqrt[3]{{{V^2}}}= 4\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}}= 4\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}\cdot \sqrt[3]{{\frac{{{x^2}}}{3}\frac{{{y^2}}}{{12}}{z^2}}}\leqslant 4\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}\cdot \frac{{\frac{{{x^2}}}{3}+ \frac{{{y^2}}}{{12}}+{z^2}}}{3}\leqslant \frac{4}{3}\sqrt[3]{{3 \cdot 12}}[/math]
Отсюда выводим, что максимальное значение объёма
[math]{V_{\max}}= \frac{{16}}{3}\sqrt 3[/math]
при [math]x = 1[/math], [math]y = 2[/math], [math]z = \frac{{\sqrt 3}}{3}[/math]

Автор:  AlterEgo [ 15 апр 2014, 17:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид

Prokop
А вы можете объяснить физический смысл ваших преобразований? Я уже представляю, как преподаватель начинает задавать вопросы.
То, что вижу я: объём сравниваем с каноническим уравнением данного эллипсоида(домноженного на коэффициенты в квадрате и взятые под корень). Как получили, чисто технически - всё понятно, вопросов нет, но вот корректно ли таким образом находить максимальный объём?

Заранее благодарю!

Автор:  Prokop [ 15 апр 2014, 19:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид

Это правильное решение.
Другое дело, если от Вас требуется применение метода Лагранжа. Что от Вас требуют?

Автор:  vvvv [ 15 апр 2014, 21:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид

[quote="Prokop"].
Считаем, стороны параллелепипеда параллельны осям эллипсоида.
А если параллелепипед не прямой?

Автор:  AlterEgo [ 15 апр 2014, 21:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид

Prokop
Ну вообще, остальные задания на условный экстремум решаются методом Лагранжа. Но я всё равно не могу составить корректного условия (или условий) к этой задаче, так что спасибо Вам!

Автор:  Prokop [ 15 апр 2014, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид

vvvv
Хороший вопрос. :)

AlterEgo
Эта задача просто решается методом Лагранжа.

Автор:  AlterEgo [ 15 апр 2014, 23:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписать параллелепипед в эллипсоид

Prokop
Допустим, какое тогда условие нужно составить?

По моим представлениям, нужно исследовать функцию V = xyz на условный экстремум. Единственное условие, которое приходит мне в голову: [math]\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}+z^2=1[/math], т.е. уравнение эллипсоида. У Вас какие соображения?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/