Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти 50 производную
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=32129
Страница 1 из 1

Автор:  Veinar [ 01 апр 2014, 20:25 ]
Заголовок сообщения:  Найти 50 производную

Здравствуйте, задание такое:
найти y[math]^{(50)}[/math](x), если y(x)=[math]\frac{ 1 }{ 1+ctg^2(x) }[/math]
я выявил зависимость:
первая производная = sin2x
вторая = 2cos2x
третья = -4sin2x
четвертая = -8cos2x
пятая = 16sin2x
Но вот как вычислить 50-ую производную? Можно это всё на листке умножать на 2 и так 50 раз, но это как-то некрасиво. Каким способом нужно воспользоваться? Если формулой Лейбница, то я не понимаю как её тут использовать. Подскажите, пожалуйста.

Автор:  erjoma [ 01 апр 2014, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти 50 производную

[math]\begin{array}{l}y = \frac{1}{{1 + {{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} }^2}x}} = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\\y' = \sin \left( {2x} \right) = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\\y'' = 2\cos 2x = - 2\cos \left( {2x + \pi } \right)\\y''' = {2^2}\sin 2x = - {2^2}\cos \left( {2x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\end{array}[/math]

Автор:  Avgust [ 01 апр 2014, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти 50 производную

Еще элементарней.
Пусть n номер производной.

Тогда коэффициент будет [math]2^{(n-1)}[/math]

Минусы будут для [math]n=4k-1[/math] и [math]n=4k[/math]

Плюсы будут для [math]n=4k+1[/math] и [math]n=4k+2[/math]

При нечетном n будет синус

При четном n будет косинус

Суммируя сказанное:

[math]50=4\cdot 12+2[/math] - следовательно плюс и косинус.

Тогда

[math]y^{[50]}=2^{49}\cos(2x)[/math]

Автор:  erjoma [ 01 апр 2014, 21:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти 50 производную

А ещё элементарней использовать школьные знания [math]{\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right)[/math]

Автор:  Avgust [ 01 апр 2014, 23:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти 50 производную

erjoma, и дальше как это использовать? До конечного, так сказать, результата.

Автор:  erjoma [ 02 апр 2014, 05:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти 50 производную

[math]\begin{array}{l}{y^{\left( n \right)}} = - {2^{n - 1}}\cos \left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right),n \ge 1\\{y^{\left( {50} \right)}} = - {2^{49}}\cos \left( {2x + 25\pi } \right) = - {2^{49}}\cos \left( {2x + \pi } \right) = {2^{49}}\cos 2x\end{array}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/