| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти 50 производную http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=32129 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Veinar [ 01 апр 2014, 20:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти 50 производную |
Здравствуйте, задание такое: найти y[math]^{(50)}[/math](x), если y(x)=[math]\frac{ 1 }{ 1+ctg^2(x) }[/math] я выявил зависимость: первая производная = sin2x вторая = 2cos2x третья = -4sin2x четвертая = -8cos2x пятая = 16sin2x Но вот как вычислить 50-ую производную? Можно это всё на листке умножать на 2 и так 50 раз, но это как-то некрасиво. Каким способом нужно воспользоваться? Если формулой Лейбница, то я не понимаю как её тут использовать. Подскажите, пожалуйста. |
|
| Автор: | erjoma [ 01 апр 2014, 20:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти 50 производную |
[math]\begin{array}{l}y = \frac{1}{{1 + {{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} }^2}x}} = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\\y' = \sin \left( {2x} \right) = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\\y'' = 2\cos 2x = - 2\cos \left( {2x + \pi } \right)\\y''' = {2^2}\sin 2x = - {2^2}\cos \left( {2x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\end{array}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 01 апр 2014, 20:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти 50 производную |
Еще элементарней. Пусть n номер производной. Тогда коэффициент будет [math]2^{(n-1)}[/math] Минусы будут для [math]n=4k-1[/math] и [math]n=4k[/math] Плюсы будут для [math]n=4k+1[/math] и [math]n=4k+2[/math] При нечетном n будет синус При четном n будет косинус Суммируя сказанное: [math]50=4\cdot 12+2[/math] - следовательно плюс и косинус. Тогда [math]y^{[50]}=2^{49}\cos(2x)[/math] |
|
| Автор: | erjoma [ 01 апр 2014, 21:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти 50 производную |
А ещё элементарней использовать школьные знания [math]{\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right)[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 01 апр 2014, 23:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти 50 производную |
erjoma, и дальше как это использовать? До конечного, так сказать, результата. |
|
| Автор: | erjoma [ 02 апр 2014, 05:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти 50 производную |
[math]\begin{array}{l}{y^{\left( n \right)}} = - {2^{n - 1}}\cos \left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right),n \ge 1\\{y^{\left( {50} \right)}} = - {2^{49}}\cos \left( {2x + 25\pi } \right) = - {2^{49}}\cos \left( {2x + \pi } \right) = {2^{49}}\cos 2x\end{array}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|