Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти производную сложной функции трех переменных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=31656
Страница 1 из 1

Автор:  MathMath [ 16 мар 2014, 16:50 ]
Заголовок сообщения:  Найти производную сложной функции трех переменных

Найти[math]\frac{ du }{ dx }[/math], если [math]u=\sqrt{z+3x-5y}, z=e^{t}, x=\ln{t},y=e^{t}[/math] в точке[math]t=1.[/math]
[math]\frac{ du }{ dt }=\frac{ du }{ dz }\frac{ dz}{ dt }+\frac{ du }{ dx }\frac{ dx }{ dt }+\frac{ du }{ dy }\frac{ dy }{ dt }[/math]
[math]\frac{ du }{ dz }=(z+3x-5y)^{\frac{ 1 }{ 2 } }=\frac{ 1 }{ 2\sqrt{z+3x-5y} } \cdot 1[/math]
Дальше в это уравнение подставить z=e^{t}, x=\ln{t},y=e^{t} а потом t заменить на 1?

Автор:  mad_math [ 16 мар 2014, 16:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную сложной функции трех переменных

Пока правильно.

Автор:  MathMath [ 16 мар 2014, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную сложной функции трех переменных

Думаю дойду до конца правильно, если подскажете, на каком моменте нужно использовать точку t=1.

Автор:  mad_math [ 16 мар 2014, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную сложной функции трех переменных

Сначала найдите аналогично [math]\frac{d u}{d x}[/math] и [math]\frac{du}{d y}[/math], а также [math]\frac{d z}{d t}[/math], [math]\frac{d y}{d t}[/math] и [math]\frac{d x}{d t}[/math].

Соберите всё найденное в формулу [math]\frac{d u}{d t} =\frac{d u}{d z}\cdot\frac{d z}{d t} +\frac{d u}{d y}\cdot\frac{d y}{d t}+\frac{d u}{d x}\cdot\frac{d x}{d t}[/math].

Затем нужно будет в эту формулу подставить выражения [math]x,\,y,\,z[/math] через [math]t[/math], чтобы производная была функцией только от переменной [math]t[/math]. А вот потом уже подставлять [math]t=1[/math]. Либо найти значения функций [math]x,\,y,\,z[/math] в точке [math]t=1[/math] и подставлять их.

Автор:  MathMath [ 16 мар 2014, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную сложной функции трех переменных

[math]\frac{ du }{ dx }=\frac{ 1 }{ 2\sqrt{z+3x-5y} } \cdot 3[/math]
[math]\frac{ du }{ dy }=\frac{ 1 }{ 2\sqrt{z+3x-5y} } \cdot 5[/math]
[math]\frac{ dz }{ dt }=e^t{}[/math]
[math]\frac{ dx }{ dt }=\frac{ 1 }{ t }[/math]
[math]\frac{ dy }{ dt }=4^{t}\ln{t}[/math]
[math]\frac{ du }{ dt }=\frac{ 1 }{ 2\sqrt{z+3x-5y} } \cdot 1 \cdot e^t{}+\frac{ 1 }{ 2\sqrt{z+3x-5y} } \cdot 3 \cdot\frac{ 1 }{ t }+\frac{ 1 }{ 2\sqrt{z+3x-5y} } \cdot 5 \cdot4^{t}\ln{t}[/math]
Потом сюда подставить [math]z=e^{t}, x=\ln{t},y=e^{t}[/math] и заменить t на 1?

Автор:  mad_math [ 16 мар 2014, 17:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную сложной функции трех переменных

А у вас в задании написано [math]y=e^t[/math]. откуда тогда [math]\frac{dy}{dt}=4^t\ln t[/math]?

Автор:  MathMath [ 16 мар 2014, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную сложной функции трех переменных

Потом сюда подставить [math]z=e^{t}, x=\ln{t},y=e^{t}[/math] и заменить t на 1? Там [math]4^{t}[/math].

Автор:  mad_math [ 16 мар 2014, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти производную сложной функции трех переменных

MathMath писал(а):
Там [math]4^{t}[/math].
Тогда [math]\frac{dy}{dt}=4^t\cdot\ln 4[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/