Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Как обойти интеграл секанса
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=31468
Страница 1 из 1

Автор:  Floatingbreeze [ 09 мар 2014, 00:52 ]
Заголовок сообщения:  Как обойти интеграл секанса

Уравнение y'-tan(x)*y=1

Первый вариант решения из Олайн калькулятора, запомнил как решать, но не понял сути.
Не понятно по какой причине берут интеграл от функции p(x) в данном случае tan(x) и умножают его на обе стороны уравнения. Потом вроде всё ясно, по формуле умножения дифференциалов компонуют в одно целое и берут интегралы от каждой части. (слева и права).

Изображение

Второй метод - по учебнику, когда наткнулся на интеграл от секанса встрял окончательно :((
Изображение

Не могу аналитические понять общую связь этих двух методов, про первый в учебнике нигде не говорится :/

Помогите решить уравнение вторым способом. Метод Бернули если я не ошибаюсь. Очень надо. И если знаете, скажите как называется первый метод решения. Он кажется проще.

Автор:  erjoma [ 09 мар 2014, 05:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как обойти интеграл секанса

[math]\begin{array}{l}\ln v = - \ln \cos x\\\ln v = \ln \frac{1}{{\cos x}}\\v = \frac{1}{{\cos x}}\end{array}[/math]

Автор:  Floatingbreeze [ 09 мар 2014, 06:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как обойти интеграл секанса

Спасибо большое за оперативность. Не подскажите про 1й метод, почему интеграл от функции надо умножать на обе стороны уравнения?

P.S. Я там в решении dx забыл в интегралах написать, прошу прощения :о)

Автор:  erjoma [ 09 мар 2014, 09:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как обойти интеграл секанса

1. Ипользуя интегрирующий множитель Вы пришли к уравнению в полных дифференциалах. Правую часть уравнения представили в виде прозводной по [math]x[/math].
Далее проинтегрировали (а не умножили на интеграл) обе части уравнения по х.

Автор:  Yurik [ 09 мар 2014, 10:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как обойти интеграл секанса

Слишком сложно расписано первое. Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель, в левой части Вы получаете производную сложной функции, остаётся проинтегрировать правую часть и выделить игрек.
[math]\begin{gathered} y' - ytgx = 1\,\, = > \,\,y'\cos x - y\sin x = \cos x\,\, = > \,\,\left( {y\cos x} \right)' = \cos x \hfill \\ y\cos x = \int {\cos xdx} = \sin x + C\,\,\, = > \,\,y = tgx + \frac{C}{{\cos x}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Но вот дальше решается задача Коши, а начальные условия в задаче не заданы. Судя по приведённому решению, оно такое [math]y(0)=0[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/