Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить интегралы тригонометрических функций
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=31156
Страница 1 из 1

Автор:  Anab0l1k [ 21 фев 2014, 15:07 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить интегралы тригонометрических функций

[math]1)\int sin^{7}6xdx[/math]
[math]2)\int cos^{2}9xsin^{6}9xdx[/math]
[math]3)\int sin^{\frac{ 7 }{ 12 }}xcos^{-\frac{ 31 }{ 12 } }xdx[/math]
[math]4)\int\frac{ cos^{4}6xdx }{ sin6x }[/math]
[math]5)\int \frac{ dx }{ (sin4x+2cos4x)^{2} }[/math]
[math]6)\int \frac{ cosxdx }{ 6cosx+5 }[/math]
[math]7)\int sin^{2}9xcos3xdx[/math]

Автор:  Avgust [ 21 фев 2014, 15:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интегралы тригонометрических функций

Чтобы взять первый интеграл, достаточно знать чуть видоизмененную таблицу Паскаля. В результате:

[math]\sin^7(u)=\frac{1}{2^6} \big [ 35 \sin(u)-21 \sin(3u)+7 \sin(5u)-\sin(7u)\big ][/math]

Мою статью об этом читайте тут: http://renuar911.narod.ru/part15.htm
Теперь интеграл легко возьмется.

Автор:  Yurik [ 21 фев 2014, 16:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интегралы тригонометрических функций

Avgust
По-моему Вы усложняете.
[math]1)\int {{{\sin }^7}6xdx} = - \frac{1}{6}\int {{{\left( {1 - {{\cos }^2}6x} \right)}^3}d\left( {\cos 6x} \right)} = ...[/math]

Автор:  Yurik [ 22 фев 2014, 12:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить интегралы тригонометрических функций

Во втором сумма степеней чётная, остаётся только понижать порядок.
[math]2)\int {{{\cos }^2}9x{{\sin }^6}9xdx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}18x{{\sin }^4}9x}}{4}dx} = \frac{1}{4}\int {\frac{{\left( {1 - \cos 36x} \right){{\left( {1 - \cos 18x} \right)}^2}}}{8}dx} = ...[/math]

[math]4)\int {\frac{{{{\cos }^4}6xdx}}{{\sin 6x}}} = \int {\frac{{{{\left( {1 - \sin 12x} \right)}^2}}}{{4\sin 6x}}dx} = \frac{1}{4}\int {\left( {\frac{1}{{\sin 6x}} - 4\cos 6x - 4\sin 6x{{\cos }^2}6x} \right)dx} = ...[/math]

[math]7)\int {{{\sin }^2}9x\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\int {{{\left( {3\sin 3x - 4{{\sin }^3}3x} \right)}^2}d\left( {\sin 3x} \right)} = ...[/math]

[math]3)\int {{{\sin }^{\frac{7}{{12}}}}x{{\cos }^{ - \frac{{31}}{{12}}}}xdx} = \int {\frac{{\operatorname{tg}^{\frac{7}{{12}}}x}}{{{{\cos }^{\frac{{24}}{{12}}}}x}}dx} = \int {\operatorname{tg}^{\frac{7}{{12}}}xd\left( {\operatorname{tg}x} \right)} = ...[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/