Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=30979
Страница 1 из 3

Автор:  makc59 [ 12 фев 2014, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Найти наибольшее и наименьшее значения функции
[math]\[z ={\rm{}}4{x^2}+{y^2}-{\rm{}}20x-{\rm{}}4y +{\rm{}}29\][/math]
в области заданной неравенствами:
[math]\[x{\rm{}}\ge 0;2x{\rm{}}-{\rm{}}5y \le 0;x +{\rm{}}y - 7{\rm{}}\le{\rm{0}}\][/math]

Автор:  Analitik [ 12 фев 2014, 23:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

makc59
Каков Ваш план?

Автор:  makc59 [ 13 фев 2014, 19:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Найдем частные производные:

[math]\[\begin{array}{l}\frac{{dz}}{{dx}}= \frac{d}{{dx}}\left({4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29}\right) = 8x - 20\\ \frac{{dz}}{{dy}}= \frac{d}{{dy}}\left({4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29}\right) = 2y - 4 \end{array}\][/math]
Решив систему двух уравнений:
[math]\[\begin{array}{l}8x - 20 = 0\\ 2y - 4 = 0 \end{array}\][/math]
Получим точки:
[math]\[\begin{array}{l}x = \frac{{20}}{8}= \frac{5}{2}= 2\frac{1}{2}\\ y = 2 \end{array}\][/math]
А дальше?

Автор:  Analitik [ 13 фев 2014, 19:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Идея проста.
Вы ищете наибольшее и наименьшее значение функции в конкретной области.
Функция может принимать наибольшее или наименьшее значение либо внутри области, либо на границе.
Поэтому сначала исследуют функцию на экстремум внутри области.
Первую часть Вы сделали. Нашли стационарную точку. Проверьте является ли она внутренней точкой заданной области.
Если она является внутренней точкой, то проверяете ее на экстремум.
Если нет, то значит внутри области нет локальных минимумов или максимумов.

Затем исследуете поведение функции на границе области. Но для этого надо, как минимум, начертить эту область.

Автор:  vvvv [ 13 фев 2014, 23:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Картинка в помощь.
Изображение

Автор:  andrei [ 14 фев 2014, 10:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Если преобразовать [math]z=4x^{2}+y^{2}-20x-4y+29=(2x-5)^{2}+(y-2)^{2}[/math],то минимум можно будет найти сразу,не дифференцируя.

Автор:  makc59 [ 14 фев 2014, 10:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Точку
[math]\[\begin{array}{l}x = 2\frac{1}{2}\\ y = 2 \end{array}\][/math]
нашел. А дальнейшее решение....
Подставив эту точку в уравнения области определения, получаем что входит.
Подставив эту точку в функцию получаем 0
Почему именно минимум?

Автор:  Analitik [ 14 фев 2014, 11:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

makc59

Вы что не знаете как исследовать на экстремуму функцию двух переменных?
Вы определили, что это стационарная точка.
Сформулируйте достаточное условие экстремума функции для функции двух переменных.

Автор:  makc59 [ 14 фев 2014, 15:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Продолжения решения. Посмотрите, теперь все верно?
[math]\[\begin{array}{l}A = \frac{{{d^2}z}}{{d{x^2}}}= \frac{d}{{dx}}\left({8x - 20}\right) = 8\\ B = \frac{{{d^2}z}}{{dxdy}}= \frac{d}{{dy}}\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right) = \frac{d}{{dy}}\left({8x - 20}\right) = 0\\ C = \frac{{{d^2}z}}{{d{y^2}}}= \frac{d}{{dy}}\left({2y - 4}\right) = 2\\ \Delta = AC -{B^2}= 8 \cdot 2 - 0 = 16 > 0 \end{array}\][/math]
Так как дискриминант больше нуля и A>0, то функция z имеет минимум в точке
[math]\[\left({2\frac{1}{2};2}\right)\][/math]
[math]\[{z_{\min}}= 4 \cdot{\left({2\frac{1}{2}}\right)^2}+{2^2}- 20 \cdot \left({2\frac{1}{2}}\right) - 4 \cdot 2 + 29 = 0\][/math]
Ответ: Функция
[math]\[z = 4{x^2}+{y^2}- 20x - 4y + 29\][/math]
имеет минимум в точке
[math]\[\left({2\frac{1}{2};2}\right)\][/math]

Автор:  Analitik [ 14 фев 2014, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

makc59

Все верно, но это не ответ. Вас же не спрашивали о минимуме или максимуме. Вопрос стоит Наибольшее и наименьшее значение функции.
Вам еще нужно проделать вот это:
Analitik писал(а):
Затем исследуете поведение функции на границе области. Но для этого надо, как минимум, начертить эту область.

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/