Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить диф.уравнение первого порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=30959
Страница 1 из 2

Автор:  lisica198808 [ 11 фев 2014, 23:54 ]
Заголовок сообщения:  Решить диф.уравнение первого порядка

решала по примеру очень похожему.. но как дошла почти к финишу - запуталась как считать в интеграле. правильно ли я решаю?помогите пожалуйста посчитать интеграл.

[math]\boldsymbol{y}^{'} + 5 \cdot \boldsymbol{y} \cdot \operatorname{tg}{x} = 6 \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{5}[/math]

1) [math]\boldsymbol{y} ^{'} + 5 \cdot \boldsymbol{y} \cdot \operatorname{tg}{x} = 0[/math]
[math]\frac{d y}{d x} = -5 \cdot \boldsymbol{y} \cdot \operatorname{tg}{x}[/math]

[math]\frac{d y}{y} = -5 \cdot \operatorname{tg}{x} \cdot \boldsymbol{dx}[/math]

[math]\frac{d y}{y} = -5 \cdot \frac{d \cos{x} }{cos{x} }[/math]

[math]\ln{y} =-5 \cdot \boldsymbol{c} \cdot \cos{x}[/math]
[math]\boldsymbol{y} =-5 \cdot \boldsymbol{c} \cdot \cos{x}[/math]
находим производную от данного y:
[math]\boldsymbol{y}^{'} =-5 \cdot( \boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x}-\boldsymbol{c} \cdot \sin{x} )=5 \cdot( \boldsymbol{c} \cdot \sin{x} -\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x})[/math]
подставляем найденные y и y' в заданное уравнению по условию:
[math]5 \cdot( \boldsymbol{c} \cdot \sin{x} -\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x})+5 \cdot \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \cdot (-5) \cdot \boldsymbol{c} \cdot \cos{x}= 6 \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{5}[/math]
разделим на 5 левую и правую части
[math]\boldsymbol{c} \cdot \sin{x} -\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x} - \boldsymbol{c} \cdot sin{x}= \frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{5}[/math]
[math]\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x}= -\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot ( \cos{x})^{5}[/math]
[math]\boldsymbol{c}^{'} = -\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot ( \cos{x})^{4}[/math]

[math]\frac{d c}{d x}=-\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{4}[/math]

[math]\boldsymbol{dc}=-\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{4} \cdot \boldsymbol{dx}}[/math]
[math]\boldsymbol{c} =-\frac{ 6 }{ 5} \cdot \int \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{4} \cdot \boldsymbol{dx}}[/math]
[math]\boldsymbol{c} =[/math]

не знаю как считать данный интеграл, если честно. помогите пожалуйста.

Автор:  mad_math [ 12 фев 2014, 00:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

[math]d(\cos{x})=-\sin{x}dx[/math]
Поэтому
[math]-5\operatorname{tg}xdx=5\cdot\frac{d(\cos{x})}{\cos{x}}[/math]

Автор:  mad_math [ 12 фев 2014, 00:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

И далее вы неверно проинтегрировали:
[math]\int\frac{dy}{y}=5\int\frac{d(\cos{x})}{\cos{x}};[/math]

[math]\ln{y}=5\ln{(\cos{x})}+\ln{C}[/math]

[math]\ln{y}=\ln{(\cos{x})^5}+\ln{C}[/math]

[math]\ln{y}=\ln{\left[C\cdot(\cos{x})^5\right]}[/math]

Откуда
[math]y=C\cdot(\cos{x})^5[/math]

Автор:  pewpimkin [ 12 фев 2014, 12:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

Изображение

Можно так

Автор:  Yurik [ 12 фев 2014, 12:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

[math]\begin{gathered} y' + 5y\operatorname{tg}x = 6{x^5}{\cos ^5}x \hfill \\ \frac{{y'}}{{{{\cos }^5}x}} + 5y\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^6}x}} = 6{x^5} \hfill \\ \left( {\frac{y}{{{{\cos }^5}x}}} \right)' = 6{x^5}\,\, = > \,\,\frac{y}{{{{\cos }^5}x}} = 6\int {{x^5}dx} = {x^6} + C \hfill \\ y = {x^6}{\cos ^5}x + C{\cos ^5}x \hfill \\ \end{gathered}[/math]

:D1

Автор:  mad_math [ 12 фев 2014, 13:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

Yurik
Этот метод почему-то не всем преподавателям нравится :(

Автор:  Yurik [ 12 фев 2014, 13:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

mad_math писал(а):
Этот метод почему-то не всем преподавателям нравится

Зато он наиболее рационален. :)

Автор:  mad_math [ 12 фев 2014, 13:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

Yurik писал(а):
Зато он наиболее рационален.
Это да. Мне тоже нравится.

Автор:  evaf [ 12 фев 2014, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} y' + 5y\operatorname{tg}x = 6{x^5}{\cos ^5}x \hfill \\ \frac{{y'}}{{{{\cos }^5}x}} + 5y\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^6}x}} = 6{x^5} \hfill \\ \left( {\frac{y}{{{{\cos }^5}x}}} \right)' = 6{x^5}\,\, = > \,\,\frac{y}{{{{\cos }^5}x}} = 6\int {{x^5}dx} = {x^6} + C \hfill \\ y = {x^6}{\cos ^5}x + C{\cos ^5}x \hfill \\ \end{gathered}[/math]

:D1

Спасибо за предложенное решение. Я все больше решала методом вариации произвольной постоянной.

Автор:  dobby [ 12 фев 2014, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить диф.уравнение первого порядка

Цитата:
Этот метод почему-то не всем преподавателям нравится

Ну если так посмотреть, то в этом больше справедливости, чем наоборот. Ведь задача преподавателя, в первую очередь, обучить общепринятым методам, а используемый способ, который "выше", студент может приберечь на какую-нибудь "олимпиадку". :)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/