| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Решить диф.уравнение первого порядка http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=30959 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | lisica198808 [ 11 фев 2014, 23:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Решить диф.уравнение первого порядка |
решала по примеру очень похожему.. но как дошла почти к финишу - запуталась как считать в интеграле. правильно ли я решаю?помогите пожалуйста посчитать интеграл. [math]\boldsymbol{y}^{'} + 5 \cdot \boldsymbol{y} \cdot \operatorname{tg}{x} = 6 \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{5}[/math] 1) [math]\boldsymbol{y} ^{'} + 5 \cdot \boldsymbol{y} \cdot \operatorname{tg}{x} = 0[/math] [math]\frac{d y}{d x} = -5 \cdot \boldsymbol{y} \cdot \operatorname{tg}{x}[/math] [math]\frac{d y}{y} = -5 \cdot \operatorname{tg}{x} \cdot \boldsymbol{dx}[/math] [math]\frac{d y}{y} = -5 \cdot \frac{d \cos{x} }{cos{x} }[/math] [math]\ln{y} =-5 \cdot \boldsymbol{c} \cdot \cos{x}[/math] [math]\boldsymbol{y} =-5 \cdot \boldsymbol{c} \cdot \cos{x}[/math] находим производную от данного y: [math]\boldsymbol{y}^{'} =-5 \cdot( \boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x}-\boldsymbol{c} \cdot \sin{x} )=5 \cdot( \boldsymbol{c} \cdot \sin{x} -\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x})[/math] подставляем найденные y и y' в заданное уравнению по условию: [math]5 \cdot( \boldsymbol{c} \cdot \sin{x} -\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x})+5 \cdot \frac{ \sin{x} }{ \cos{x} } \cdot (-5) \cdot \boldsymbol{c} \cdot \cos{x}= 6 \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{5}[/math] разделим на 5 левую и правую части [math]\boldsymbol{c} \cdot \sin{x} -\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x} - \boldsymbol{c} \cdot sin{x}= \frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{5}[/math] [math]\boldsymbol{c}^{'} \cdot \cos{x}= -\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot ( \cos{x})^{5}[/math] [math]\boldsymbol{c}^{'} = -\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot ( \cos{x})^{4}[/math] [math]\frac{d c}{d x}=-\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{4}[/math] [math]\boldsymbol{dc}=-\frac{ 6 }{ 5} \cdot \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{4} \cdot \boldsymbol{dx}}[/math] [math]\boldsymbol{c} =-\frac{ 6 }{ 5} \cdot \int \boldsymbol{x} ^{5} \cdot (\cos{x})^{4} \cdot \boldsymbol{dx}}[/math] [math]\boldsymbol{c} =[/math] не знаю как считать данный интеграл, если честно. помогите пожалуйста. |
|
| Автор: | mad_math [ 12 фев 2014, 00:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
[math]d(\cos{x})=-\sin{x}dx[/math] Поэтому [math]-5\operatorname{tg}xdx=5\cdot\frac{d(\cos{x})}{\cos{x}}[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 12 фев 2014, 00:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
И далее вы неверно проинтегрировали: [math]\int\frac{dy}{y}=5\int\frac{d(\cos{x})}{\cos{x}};[/math] [math]\ln{y}=5\ln{(\cos{x})}+\ln{C}[/math] [math]\ln{y}=\ln{(\cos{x})^5}+\ln{C}[/math] [math]\ln{y}=\ln{\left[C\cdot(\cos{x})^5\right]}[/math] Откуда [math]y=C\cdot(\cos{x})^5[/math] |
|
| Автор: | pewpimkin [ 12 фев 2014, 12:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
![]() Можно так |
|
| Автор: | Yurik [ 12 фев 2014, 12:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
[math]\begin{gathered} y' + 5y\operatorname{tg}x = 6{x^5}{\cos ^5}x \hfill \\ \frac{{y'}}{{{{\cos }^5}x}} + 5y\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^6}x}} = 6{x^5} \hfill \\ \left( {\frac{y}{{{{\cos }^5}x}}} \right)' = 6{x^5}\,\, = > \,\,\frac{y}{{{{\cos }^5}x}} = 6\int {{x^5}dx} = {x^6} + C \hfill \\ y = {x^6}{\cos ^5}x + C{\cos ^5}x \hfill \\ \end{gathered}[/math]
|
|
| Автор: | mad_math [ 12 фев 2014, 13:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
Yurik Этот метод почему-то не всем преподавателям нравится
|
|
| Автор: | Yurik [ 12 фев 2014, 13:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
mad_math писал(а): Этот метод почему-то не всем преподавателям нравится Зато он наиболее рационален.
|
|
| Автор: | mad_math [ 12 фев 2014, 13:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
Yurik писал(а): Зато он наиболее рационален. Это да. Мне тоже нравится.
|
|
| Автор: | evaf [ 12 фев 2014, 13:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
Yurik писал(а): [math]\begin{gathered} y' + 5y\operatorname{tg}x = 6{x^5}{\cos ^5}x \hfill \\ \frac{{y'}}{{{{\cos }^5}x}} + 5y\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^6}x}} = 6{x^5} \hfill \\ \left( {\frac{y}{{{{\cos }^5}x}}} \right)' = 6{x^5}\,\, = > \,\,\frac{y}{{{{\cos }^5}x}} = 6\int {{x^5}dx} = {x^6} + C \hfill \\ y = {x^6}{\cos ^5}x + C{\cos ^5}x \hfill \\ \end{gathered}[/math] ![]() Спасибо за предложенное решение. Я все больше решала методом вариации произвольной постоянной. |
|
| Автор: | dobby [ 12 фев 2014, 14:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Решить диф.уравнение первого порядка |
Цитата: Этот метод почему-то не всем преподавателям нравится Ну если так посмотреть, то в этом больше справедливости, чем наоборот. Ведь задача преподавателя, в первую очередь, обучить общепринятым методам, а используемый способ, который "выше", студент может приберечь на какую-нибудь "олимпиадку".
|
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|