Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Экстремум функции двух переменных.Запуталась
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=30924
Страница 1 из 1

Автор:  lisica198808 [ 10 фев 2014, 21:50 ]
Заголовок сообщения:  Экстремум функции двух переменных.Запуталась

[math]\boldsymbol{z} = \boldsymbol{x} ^{4} + \boldsymbol{y} ^{4} - \boldsymbol{x} ^{2} -2 \times \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{y} -\boldsymbol{y} ^{2} + 5[/math]
частная производная по x:
[math]\frac{\partial z}{\partial x} = 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y}[/math]
частная производная по y:
[math]\frac{\partial z}{\partial y} = 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y}[/math]

Может глупо, но запуталась на решении системы.. Какую-то ахинею нагородила. Не могу точки посчитать..

решим систему уравнений для нахождения стационарных точек.
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0 \\
& 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3}=0 \\
& 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \boldsymbol{y} ^{3} = \boldsymbol{x} ^{3} \\
& 2 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{y} ^{3} = \boldsymbol{x} ^{3} \\
& 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0 \\
& 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \left( 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} \right) = 0 \\
& \boldsymbol{y} = 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x}
\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}
& 0=0 \\
& \boldsymbol{y} = 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x}
\end{aligned}\right.[/math]


Где я налажала??

Автор:  dobby [ 10 фев 2014, 22:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась

Так после вычитания получили [math]y^{3} =x^{3}[/math], т.е. [math]y=x[/math]. Ну и подставляйте в систему икс вместо игрека.

Автор:  mad_math [ 10 фев 2014, 22:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась

Если из первого уравнения вычесть второе и сложить первое и второе уравнения, получим:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 2x^3-2y^3=0 \\ & 2x^3+2y^3-2x-2y=0 \end{aligned}\right.[/math]
или
[math]\left\{\!\begin{aligned}& (x-y)(x^2+xy+y^2)=0 \\ & (x+y)(x^2-xy+y^2-1)=0 \end{aligned}\right.[/math]

Система распадётся на 4:
1. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=y \\ & x=-y \end{aligned}\right.[/math]
Очевидно, что решение этой системы [math]x=0,\,y=0[/math]

2. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=y \\ & x^2-xy+y^2-1=0 \end{aligned}\right.[/math]
Откуда получим [math]x^2-x^2+x^2-1=0\Rightarrow x_1=1,\,y_1=1,\,x_2=-1,\,y_2=-1[/math]

3. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+xy+y^2=0 \\ & x+y=0 \end{aligned}\right.[/math]
Откуда [math]x^2-x^2+x^2=0\Rightarrow x=0[/math]

4. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+xy+y^2=0 \\ & x^2-xy+y^2-1=0 \end{aligned}\right.[/math]
Это самый запущенный случай.
Опять же, если вычесть из первого уравнения второе и сложить первое уравнение со вторым, получим систему:
[math]\left\{\!\begin{aligned}& 2x^2+2y^2=1 \\ & 2xy=1 \end{aligned}\right.[/math]
Эта система не имеет действительных корней. Убедиться в этом не так уж сложно.

Итого, получаем точки [math](0;0),\,(1;1),\,(-1;-1)[/math]

Автор:  mad_math [ 10 фев 2014, 22:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась

dobby писал(а):
Так после вычитания получили [math]y^{3} =x^{3}[/math], т.е. [math]y=x[/math]. Ну и подставляйте в систему икс вместо игрека.
Ну а я, как всегда, всё усложнила :%)

Автор:  vvvv [ 10 фев 2014, 23:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась

График функции. 3D и проекция на ZOY.
Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/