| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Экстремум функции двух переменных.Запуталась http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=30924 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | lisica198808 [ 10 фев 2014, 21:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Экстремум функции двух переменных.Запуталась |
[math]\boldsymbol{z} = \boldsymbol{x} ^{4} + \boldsymbol{y} ^{4} - \boldsymbol{x} ^{2} -2 \times \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{y} -\boldsymbol{y} ^{2} + 5[/math] частная производная по x: [math]\frac{\partial z}{\partial x} = 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y}[/math] частная производная по y: [math]\frac{\partial z}{\partial y} = 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y}[/math] Может глупо, но запуталась на решении системы.. Какую-то ахинею нагородила. Не могу точки посчитать.. решим систему уравнений для нахождения стационарных точек. [math]\left\{\!\begin{aligned} & 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0 \\ & 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0 \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & 4 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3}=0 \\ & 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0 \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & \boldsymbol{y} ^{3} = \boldsymbol{x} ^{3} \\ & 2 \cdot \boldsymbol{y} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0 \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & \ \boldsymbol{y} ^{3} = \boldsymbol{x} ^{3} \\ & 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} = 0 \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \boldsymbol{y} = 0 \\ & 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y} \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & 4 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - 2 \cdot \boldsymbol{x} - 2 \cdot \left( 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} \right) = 0 \\ & \boldsymbol{y} = 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} \end{aligned}\right.[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned} & 0=0 \\ & \boldsymbol{y} = 2 \cdot \boldsymbol{x} ^{3} - \boldsymbol{x} \end{aligned}\right.[/math] Где я налажала?? |
|
| Автор: | dobby [ 10 фев 2014, 22:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась |
Так после вычитания получили [math]y^{3} =x^{3}[/math], т.е. [math]y=x[/math]. Ну и подставляйте в систему икс вместо игрека. |
|
| Автор: | mad_math [ 10 фев 2014, 22:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась |
Если из первого уравнения вычесть второе и сложить первое и второе уравнения, получим: [math]\left\{\!\begin{aligned}& 2x^3-2y^3=0 \\ & 2x^3+2y^3-2x-2y=0 \end{aligned}\right.[/math] или [math]\left\{\!\begin{aligned}& (x-y)(x^2+xy+y^2)=0 \\ & (x+y)(x^2-xy+y^2-1)=0 \end{aligned}\right.[/math] Система распадётся на 4: 1. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=y \\ & x=-y \end{aligned}\right.[/math] Очевидно, что решение этой системы [math]x=0,\,y=0[/math] 2. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x=y \\ & x^2-xy+y^2-1=0 \end{aligned}\right.[/math] Откуда получим [math]x^2-x^2+x^2-1=0\Rightarrow x_1=1,\,y_1=1,\,x_2=-1,\,y_2=-1[/math] 3. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+xy+y^2=0 \\ & x+y=0 \end{aligned}\right.[/math] Откуда [math]x^2-x^2+x^2=0\Rightarrow x=0[/math] 4. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x^2+xy+y^2=0 \\ & x^2-xy+y^2-1=0 \end{aligned}\right.[/math] Это самый запущенный случай. Опять же, если вычесть из первого уравнения второе и сложить первое уравнение со вторым, получим систему: [math]\left\{\!\begin{aligned}& 2x^2+2y^2=1 \\ & 2xy=1 \end{aligned}\right.[/math] Эта система не имеет действительных корней. Убедиться в этом не так уж сложно. Итого, получаем точки [math](0;0),\,(1;1),\,(-1;-1)[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 10 фев 2014, 22:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась |
dobby писал(а): Так после вычитания получили [math]y^{3} =x^{3}[/math], т.е. [math]y=x[/math]. Ну и подставляйте в систему икс вместо игрека. Ну а я, как всегда, всё усложнила
|
|
| Автор: | vvvv [ 10 фев 2014, 23:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Экстремум функции двух переменных.Запуталась |
График функции. 3D и проекция на ZOY. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|