Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти M и m в области D
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=30187
Страница 1 из 1

Автор:  SnoUweR [ 12 янв 2014, 20:54 ]
Заголовок сообщения:  Найти M и m в области D

Здравствуйте.
Вообщем уже пару дней мучаюсь с одной, казалось бы, легкой, задачей.

Само задание: Найти M и m в области D
[math]\[z = 2{x^2}+ 3{y^2}+ 1\][/math]
D: [math]\[y = \sqrt{9 - \frac{9}{4}{x^2}}\][/math]; [math]\[y = 0\][/math]

Сначала вычислил, что графиком будет эллипс
[math]\[y^2 = 9 - \frac{9}{4}{x^2}\][/math]
[math]\[\frac{9}{4}{x^2} + {y^2} = 9\][/math]
[math]\[\frac{9}{4}{x^2} + {y^2} = 9\][/math]
[math]\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\][/math]

Затем нашел стационарную (?) точку
[math]\left\{\!\begin{aligned}& \[\frac{{dz}}{{dx}} = 0\] \\& \[\frac{{dz}}{{dy}} = 0\] \end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& \[4x = 0\] \\& \[6y = 0\]\end{aligned}\right.[/math]


[math]\left\{\!\begin{aligned}& \[x = 0\] \\& \[y = 0\]\end{aligned}\right.[/math]

[math]\[M(0;0)\][/math]

А затем попал в тупик, так как не знаю, что делать дальше. Читал примеры подобных задач в интернете, но там только с треугольниками или прямоугольниками рассматриваются, а тут эллипс.

Как я понял, нужно найти наибольшее и наименьшее значение на границе области, а потом еще критические точки в этой области.
Но как? Можете натолкнуть на правильный путь? А то голова после нового года вообще отказывается нормально думать

Автор:  mad_math [ 12 янв 2014, 21:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти M и m в области D

А что такое M и m?

Автор:  SnoUweR [ 12 янв 2014, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти M и m в области D

mad_math писал(а):
А что такое M и m?

Максимальное (M) и минимальное (m) значение функции

Автор:  vvvv [ 12 янв 2014, 22:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти M и m в области D

Картинка в помощь.
Изображение

Автор:  SnoUweR [ 13 янв 2014, 01:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти M и m в области D

vvvv писал(а):
Картинка в помощь.
Изображение


Спасибо конечно. Но не думаю, что мне это чем-то помогло :(

Автор:  SnoUweR [ 13 янв 2014, 04:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти M и m в области D

Вообщем подставил область определения в [math]z=2x^2+3y^2+1[/math]
[math]z=2x^2+3(9-\frac{9x^2}{4} )+1[/math]
[math]z=2x^2+27-\frac{27x^2}{4}+1[/math]
[math]z=\frac{-19x^2}{4}+28[/math]

Затем нашел критическую точку, лежащую внутри данного отрезка

[math]\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{-19*2x}{4}=\frac{-38x}{4}=0[/math]

[math]x=0[/math]

[math]z(x)=28[/math]

После чего нашел концы области определения
[math]9-\frac{9x^2}{4} < 0[/math]
[math]9-\frac{9x^2}{4} < 0[/math]
[math]9 < \frac{9x^2}{4}[/math]
[math]4 < x^2[/math]

[math]x\in\left[ -2; 2 \right][/math]

И нашел значение функции в них
[math]z(-2)=z(2)=\frac{-38}{4}+28=\frac{74}{4}=18.3[/math]

Снова в тупике. Что делать дальше - пока не знаю.

Автор:  vvvv [ 13 янв 2014, 23:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти M и m в области D

Если вы не понимаете смысла и содержания картинки - помочь вам невозможно.Не туда пошли учиться.
max=z(0,3)=28
min=z(0,0)=1

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/