Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 12:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 июл 2022, 07:56
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
здраствуйте.
Какая-то кривая задача. Найти все вещественные [math]x[/math], удовлетворяющие уравнению [math]\log_2{(a^2x^3-5a^2x^2+\sqrt{6-x})}=\log_{a^2+2}{(3-\sqrt{x-2})}[/math] при любых вещественных значениях параметра [math]a[/math].
Странное условие с нестандартным вопросом. Обычно же спрашивается, при каких значениях параметра корни принимают определенные значения. А здесь как будто [math]a[/math] - это неизвестное, а [math]x[/math] - параметр. Непонятно.
как тут быть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 13:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1593
Cпасибо сказано: 420
Спасибо получено:
364 раз в 305 сообщениях
Очков репутации: 80

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
viryna писал(а):
Странное условие с нестандартным вопросом
Согласен, довольно нестандартное уравнение с нестандартным вопросом. А решается просто.
Пусть [math]x[/math] - такое значение, которое требуется найти. Значит, при этом значении [math]x[/math] уравнение выполняется для всех значений параметра [math]a[/math]. А значит, в частности, и при [math]a=0[/math]

Подставляя [math]a=0[/math] в исходное уравнение, получаем, что требуемое значение [math]x[/math] обязательно должно удовлетворять уравнению [math]\log_{2}{\sqrt{6-x}}=\log_{2}{(3-\sqrt{6-x})}[/math]

Это уравнение легко решается, оно не имеет вещественных корней. Таким образом, ответ на вашу задачу выглядит так: [math]x\in \varnothing[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gagarin "Спасибо" сказали:
ferma-T, viryna
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 13:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
Подставляя a=0 в исходное уравнение, получаем, что требуемое значение x обязательно должно удовлетворять уравнению

Совершенно правильный подход к решению подобных "нестандартных" задач. Такие задачи - на смекалку. Надо не тупо браться решать в лоб, а подумать, в чем здесь "подвох".

У вас там, кстати, опечатка - скопипастили корень, и не изменили под ним.

П.С. Кроме а = 0 можно ещё пробовать [math]a = \sqrt{2}[/math], и тогда там тоже красиво преобразуется. Вот только дальше решать там будет намного сложнее и, главное, там, на самом деле, имеется корень ~5.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 16:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 июл 2022, 07:56
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: -2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
должно удовлетворять уравнению [math]\log_{2}{\sqrt{6-x}}=\log_{2}{(3-\sqrt{6-x})}[/math]
Спасибо.Только
вы чутка ошиблись (скорее описАлись) с подкоренным выражением в правой части.
Там должно быть [math]\log_{2}{\sqrt{6-x}}=\log_{2}{(3-\sqrt{x-2})}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 19:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 дек 2021, 01:39
Сообщений: 1753
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
329 раз в 315 сообщениях
Очков репутации: 70

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
Пусть x - такое значение, которое требуется найти. Значит, при этом значении x уравнение выполняется для всех значений параметра a. А значит, в частности, и при a=0
Неправильно! Откуда это следует?
при [math]a=0[/math] действгительно решений нет (рис.1).
Но вообще-то разным значениям а соответствуют разные значения х и наоборот: разным значениям х соответствуют разные значения а.
Причем некоторым значениям а соответствуют 2 значения х (рис 2), другим - только одно (рис 3).
На последнем рисунке показано геометрическое место точек пересечения функций [math]f(x)[/math] и [math]g(x)[/math] (при различных значениях а; обозначено черными точками)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 20:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Неправильно! Откуда это следует?

Из условия. Требуется найти вещественные [math]x[/math], удовлетворяющие уравнению при любых значениях параметра.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Booker48 "Спасибо" сказали:
viryna
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 20:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Exzellenz писал(а):
Неправильно!

Я согласен, что при особом желании условие можно понять и не в такой трактовке, как предложил Gagarin. Возможно, что имелось ввиду, что логарифмы справа и слева будут равны в смыле что их подлогарифменные выражения оба будут равны единице. Тогда получаем систему двух уравнений:

[math]1) \; \; \; \; \; \; a^2x^3-5a^2x^2+\sqrt{6-x}= 1[/math]

[math]2) \; \; \; \; \; \; 3-\sqrt{x-2}= 1[/math]

И далее надо посмотреть, существуют ли такие решения икс, которые не зависят от а. Это просто: выразить икс из второго и подставить в первое и посмотреть. Скорее всего, не существуют, и ответ будет таким же. Но само решение другое.

Порешал сам и увидел, что из 2) получается х = 6. Если его подставить в 1), то а не убирается, и значит решений, действительно, нет.

Но задача была бы интересней, если бы из 2) икс получался таким, что [math]a^2x^3 - 5a^2x^2 = 0[/math], т.е. при х = 5. Тогда а устранялось бы. Тогда х=5 было бы решением, при условии, что остальное тоже бы уравнивалось.


Последний раз редактировалось ferma-T 27 мар 2023, 21:06, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 20:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А не лучше ли привести источник этой задачи!
Кстати, если в правой части стояло бы [math]\sqrt{x-1}[/math], а не [math]\sqrt{x-2}[/math], то задача бы имела непустое решение: [math]x=5[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 21:24 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, там и стоит х-1- Амелькин

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нестандартное логарифмическое уравнение
СообщениеДобавлено: 27 мар 2023, 21:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
05 апр 2021, 04:44
Сообщений: 2371
Cпасибо сказано: 301
Спасибо получено:
925 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 322

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Да, там и стоит х-1- Амелькин

Я так и думал, что ошибка в 1м посте. Тогда можно решить, например, как я предлжил 3 поста выше через систему двух равнений. Точнее, не то, чтоб систему, а просто из 2) находим икс и подставляем его в 1), чтобы убедиться, что равенство соблюдается и что а не играет роли.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Нестандартное уравнение

в форуме Тригонометрия

eleks

5

510

19 мар 2022, 20:14

Нестандартное тригонометрическое уравнение

в форуме Алгебра

Andreww

1

469

11 апр 2018, 02:12

Нестандартное кубическое уравнение

в форуме Алгебра

Cold

2

484

20 ноя 2014, 23:19

Нестандартное дифференциальное уравнение 2 порядка

в форуме Численные методы

MaRoVy

0

346

15 май 2015, 21:28

Нестандартное неравенство

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Sumbar

10

322

13 июл 2022, 22:40

Логарифмическое уравнение

в форуме Алгебра

hydro

2

185

25 мар 2019, 06:49

Логарифмическое уравнение

в форуме Алгебра

Dinis

1

292

08 апр 2014, 09:41

Логарифмическое уравнение

в форуме Алгебра

Dinis

11

633

09 апр 2014, 13:53

Логарифмическое уравнение

в форуме Алгебра

Abarsuk

2

353

13 апр 2014, 16:23

Логарифмическое уравнение

в форуме Алгебра

Krvn

13

798

16 май 2018, 09:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 34


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved