Уравнение ЕГЭ

[math]\sqrt{x + 4}[/math] [math]=[/math] x[math]^{2}[/math] [math]-[/math] 4

[math]\mathsf{t} = \sqrt{ \mathsf{x} + 4} \geqslant 0[/math]

[math]\mathsf{t} ^{4} - 8 \mathsf{t} ^{2} - \mathsf{t} + 12=\left( \mathsf{t} ^{2} + \mathsf{t} - 3 \right) \cdot \left( \mathsf{t} ^{2} - \mathsf{t} - 4 \right)[/math] ...
Исправил опечатку.

Нетрудно убедиться, что функция [math]y=\sqrt{x+4}[/math] является обратной по отношению к функции [math]y=x^2-4[/math], тогда уравнение можно переписать как [math]y^{-1}(x)=y(x)[/math] или [math]x=y(y(x))[/math], которое сводится к [math]x=y(x)=x^2-4[/math] с корнями [math]x_{1,2}=\frac{ 1 \pm \sqrt{17} }{ 2 }[/math]. Дальше графически убеждаемся, что других корней нет.

Ну вот так можно

michel
Что то не так, при одном из Ваших Корней правая часть меньше нуля

Да, один из корней полученного уравнения [math]x^2-x-4=0[/math] не подходит. Дальше можно было вернуться к исходному уравнению, возвести его в квадрат и разделить на ранее полученный трёхчлен [math]x^2-x-4[/math] и получить другое уравнение [math]x^2+x-3=0[/math]...

Можно так сделать.
[math]\sqrt{x+4}=u \Rightarrow[/math]

[math]\left\{ \begin{array}{}
x^2-4 & = & u \\
u^2 - 4& = & x
\end{array}\right. \quad (-) \quad
\Rightarrow \quad x^2-u^2=u-x \Rightarrow (x-u)(x+u+1)=0 \Rightarrow[/math]

[math]x=u \Rightarrow x^2-x-4=0 \Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{17}}{2};\;\;
x+u+1=0 \Rightarrow x^2+x-3=0 \Rightarrow x=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2};[/math]

Делаем проверку, получаем:

[math]x=\frac{-1 - \sqrt{13}}{2};\; x=\frac{1 + \sqrt{17}}{2}[/math]

Господа, позвольте нарушить вашу алгебраическую идиллию и немного сдобрить её геометрическим сиропом.

Как сказал michel, лево и право в условии взаимообратны. Значит первую пару корней (точек пересечения парабол) можно найти по прерсечению лиловой параболы y = x^2 - 4 и черной прямой y = x. Но видно и ясно, что есть еще одна пара корней, а именно пересечение лиловой параболы y = x^2 - 4 и пока неизвестной красной прямой, ортной черной прямой. Как же найти эту красную прямую? На помощь спешит геометрия.

Ясно, что в силу симметрии взаимообратных функций (т.е. синей и лиловой парабол) относительно прямой y = x , точки их пересечения также симметричны. И поэтому пара красных точек пересечения будет равноотстоять от точки М.

Теперь вспоминаем о серединах параллельных хорд парабол, что они лежат на прямой, параллельной оси параболы. Для построения такой прямой достаточно взять любую хорду, ортную прямой y = x, например, удобную проходящую через начало координат, и по формуле Виета для уравнения x^2 - 4 = -x найти координату икс середины этой хорды x_М = -1/2. Так нашли уравнение красной прямой y = -x - 1.

И осталось решить уравнение (это будет для второй пары корней).
x^2 - 4 = -x - 1
x^2 + x - 3 = 0

To [math]\mathsf{f} \mathsf{e} \mathsf{r} \mathsf{m} \mathsf{a} \mathsf{t} - \mathsf{T}[/math]
Евклид в сторонке нервно ̶к̶у̶р̶и̶т̶ пьёт красное вино прямо из горлышка амфоры .