Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 14:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 май 2021, 14:59
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Помогите, пожалуйста, понять, как доказать, что сумма R1+2(R2+R3+...+Rn+...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла

Я разобрала, почему это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Нашла знаменатель = 1/3

Если искать сумму прогрессии, начиная с R2 до Rn, то получится 3R2/2, и сумма R1+2(R2+R3+...+Rn+...) = 4R1, а должно быть 2R1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 16:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vika138 писал(а):
Если искать сумму прогрессии, начиная с R2 до Rn, то получится 3R2/2, и сумма R1+2(R2+R3+...+Rn+...) = 4R1


и сумма R1+2(R2+R3+...+Rn+...) = R1+3R2=2R1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 16:13 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2021, 08:50
Сообщений: 160
Откуда: Г. Владивосток
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
6 раз в 6 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Расстояние от центра первой окружности до второй окружности - R1, расстояние от центра первой окружности до третьей окружности - R1+2R2, расстояние от центра первой окружности до n-ой окружности - R1+2R2+2R3...+2Rn и так далее до бесконечности. Пределом будет вершина угла

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 16:56 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
13 окт 2020, 22:43
Сообщений: 66
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
22 раз в 20 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]sin{30^{\circ} } =\frac{ R₂ − R₁ }{ R₂ + R₁ } =\frac{ R₃ − R₂ }{ R₃ + R₂ }=\frac{ 1 }{ 2 } .[/math]

Откуда:

[math]R₂² = R₁·R₃.[/math]

То есть радиусы образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель равен [math]\; \frac{ 1 }{ 3 }[/math]

[math]R_2+R_3+R_4+ ... = R_2(1 + q + q^2 + ...) = R_2\frac{ 1-q^n }{1+q } \; \; \longrightarrow \;\frac{ 3R_2 }{ 2 }.[/math]

Значит:

[math]R_11+2(R_2+R_3 + \;... \;+R_n +\;...)=R_1+3R_2=2R_1.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 17:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из условия и чертежа видно, что :
[math]\frac{ R_{1} - R_{2} }{ R_{1} + R_{2} } =\frac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow R_{2}=\frac{ 1 }{ 3 }R_{1}[/math]

[math]\frac{ R_{2} - R_{3} }{ R_{2} + R_{3} } =\frac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow R_{3}=\frac{ 1 }{ 3 }R_{2} =\left( \frac{ 1 }{ 3 } \right)^2 \cdot R_{1}[/math];
[math]\cdot \cdot \cdot[/math]

[math]\frac{ R_{n} - R_{n-1} }{ R_{n-1} + R_{n} } =\frac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow R_{n}=\frac{ 1 }{ 3 }R_{n-1} =\left( \frac{ 1 }{ 3 } \right)^{n-1} \cdot R_{1}[/math];
[math]\cdot \cdot \cdot[/math]

Тогда по формулу сумму бесконечной геометрической прогрессии:
[math]R_{1} +2\left( R_{2}+ R_{3}+ \cdot \cdot \cdot +R_{n}+ \cdot \cdot \cdot \right)=[/math]
[math]= R_{1} + 2R_{1}\sum\limits_{n=2}^{ \infty }\left( \frac{ 1 }{ 3 } \right)^{n-1} = R_{1} +2R_{1}\frac{ \frac{ 1 }{ 3 } }{ 1-\frac{ 1 }{ 3 } } =[/math]

[math]= R_{1}+2R_{1} \cdot \frac{ 1 }{ 2 } =R_{1}+R_{1}=2R_{1}[/math]

Если обозначим через т.О вершину угла, а через т.О[math]_{1}[/math] центра окружности радиусом [math]R_{1}[/math],

то из чертежа видно, что [math]\frac{ R_{1} }{ OO_{1} } =\frac{ 1 }{ 2 } \Rightarrow OO_{1} =2R_{1}[/math];
Так , что этту сумму равна расстояние от вершину угла, до центра окружности с радиусом [math]R_{1} .[/math]

[math]R_{1} +2\left( R_{2}+ R_{3}+ \cdot \cdot \cdot +R_{n}+ \cdot \cdot \cdot \right)=2R_{1}= OO_{1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 18:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Vika138 писал(а):
Помогите, пожалуйста, понять, как доказать, что сумма R1+2(R2+R3+...+Rn+...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла

А что, из чертежа не видно разве?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 19:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
А что, из чертежа не видно разве?


Мне очевидно. Вам очевидно. А очевидно ли это топик-стартеру, я сильно сомневаюсь. Вы же пишете не для помогающих - мол смотрите, какой я умный. Что вы много знаете в математике, мы и так догадываемся :) Вы же пишете для топик-стартера.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 20:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pirinchily писал(а):
Вы же пишете для топик-стартера.

Очень правильное замечание. Из поста можно было догадаться, что я обращался к топик-стартеру (я его процитировал). Но и ваше мнение также ценно для меня. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 31 май 2021, 21:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
22 дек 2019, 21:57
Сообщений: 1863
Откуда: Болгарии
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
735 раз в 714 сообщениях
Очков репутации: 144

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Очень правильное замечание. Но и ваше мнение также ценно для меня. :)

Спосибо, за то что Вы меня так высоко цените! :) Ну что же уже буду спать спокойно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Алгебра 10 класс. Геометрическая прогрессия
СообщениеДобавлено: 01 июн 2021, 14:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 май 2021, 14:59
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за помощь, теперь разобралась :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Прогрессия геометрическая

в форуме Алгебра

MISGA23

10

756

13 дек 2014, 15:53

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

Anyarin

3

417

07 фев 2016, 16:20

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

Chem

4

353

19 фев 2015, 18:06

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

spins06

8

528

27 мар 2015, 02:38

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

Jones

1

306

18 июн 2015, 13:16

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

georgiy2

8

352

13 мар 2022, 14:54

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

sunshine123

3

344

18 окт 2014, 14:20

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

jj1247

2

164

28 май 2019, 10:20

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

Halina

12

627

09 май 2017, 14:31

Геометрическая прогрессия

в форуме Алгебра

Qyina

2

186

13 май 2023, 17:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 32


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved