Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 3 из 4 |
[ Сообщений: 37 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
searcher |
|
|
Поскольку задача у вас не получается. попробуйте для начала решить задачу попроще. Пусть у нас семейство парабол задаётся формулой: [math]f_{\beta} (x)=x^2+ \beta[/math] . Подумайте, какую область накрывает это семейство. |
||
Вернуться к началу | ||
silversurficus |
|
|
searcher писал(а): silversurficus Поскольку задача у вас не получается. попробуйте для начала решить задачу попроще. Пусть у нас семейство парабол задаётся формулой: [math]f_{\beta} (x)=x^2+ \beta[/math] . Подумайте, какую область накрывает это семейство. Наверное, скажу глупость, но область, которую накрывает это семейство, это область которую накрывает парабола x^2 с вершиной в минус бесконечности. |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
VERESK писал(а): На параболе [math]\;y=f(x,a)[/math]. Фиксируем [math]\;(a,x)[/math], увеличиваем [math]\;y[/math], вверху [math]\;y>f(x,a)[/math]. Ну и что? Будет ли [math]y\ge f(x,a)[/math] для других (всех) [math]a[/math]?Например, [math]f(5,6\slash 5)=89\slash 6=14\,\frac{5}{6}[/math]. Если чуть увеличить [math]a[/math], то значение [math]f(x,a)[/math] вырастет: [math]f(5,5\slash 4)=15[/math], а при дальнейшем увеличении имеем [math]f(5,4\slash 3)=59\slash 4=14\,\frac{3}{4}[/math], и вообще [math]f(5,a)[/math] уменьшается при возрастании [math]a[/math]. Искомому множеству принадлежат точки [math](5,y)[/math] при [math]y\ge 15[/math]. VERESK писал(а): Поведение будет ясно, если нарисовать несколько парабол при разных значениях [math]a[/math] в одних координатах. Может, напишете, что именно ясно?silversurficus писал(а): Наверное, скажу глупость, но область, которую накрывает это семейство, это область которую накрывает парабола x^2 с вершиной в минус бесконечности. Такой параболы не существует. |
||
Вернуться к началу | ||
silversurficus |
|
|
3D Homer писал(а): VERESK писал(а): На параболе [math]\;y=f(x,a)[/math]. Фиксируем [math]\;(a,x)[/math], увеличиваем [math]\;y[/math], вверху [math]\;y>f(x,a)[/math]. Ну и что? Будет ли [math]y\ge f(x,a)[/math] для других (всех) [math]a[/math]?Например, [math]f(5,6\slash 5)=89\slash 6=14\,\frac{5}{6}[/math]. Если чуть увеличить [math]a[/math], то значение [math]f(x,a)[/math] вырастет: [math]f(5,5\slash 4)=15[/math], а при дальнейшем увеличении имеем [math]f(5,4\slash 3)=59\slash 4=14\,\frac{3}{4}[/math], и вообще [math]f(5,a)[/math] уменьшается при возрастании [math]a[/math]. Искомому множеству принадлежат точки [math](5,y)[/math] при [math]y\ge 15[/math]. VERESK писал(а): Поведение будет ясно, если нарисовать несколько парабол при разных значениях [math]a[/math] в одних координатах. Может, напишете, что именно ясно?silversurficus писал(а): Наверное, скажу глупость, но область, которую накрывает это семейство, это область которую накрывает парабола x^2 с вершиной в минус бесконечности. Такой параболы не существует.Тогда какой правильный ответ на поставленный вопрос? Какую область будет накрывать такое семейство парабол, о котором говорит searcher? |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
silversurficus писал(а): Тогда какой правильный ответ на поставленный вопрос? Предположим, что вы говорите про вопрос уважаемого searcher'а.searcher писал(а): Пусть у нас семейство парабол задаётся формулой: [math]f_{\beta} (x)=x^2+ \beta[/math]. Подумайте, какую область накрывает это семейство. Также предположим, что под фразой "какую область накрывает это семейство" имеется в виду задание, аналогичное заданию из начального сообщения этой темы, то есть найти множество [math]S=\{(x,y)\mid \forall \beta\;y\ge x^2+\beta\}[/math] (∀ читается "для любого"). Тогда [math]S[/math] — пустое множество. Действительно, возьмем какую-нибудь точку [math](x,y)[/math] и исследуем на принадлежность [math]S[/math]. Можно ли найти такое [math]\beta[/math], что [math]x^2+\beta>y[/math]? Конечно, достаточно взять [math]\beta=y+1[/math]. Значит, условие [math]\forall \beta\;y\ge x^2+\beta[/math] не выполняется ни для каких [math]x[/math] и [math]y[/math]. Это также видно из того, что при фиксированном [math]x[/math] функция [math]x^2+\beta[/math] от аргумента [math]\beta[/math] не имеет максимума. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: silversurficus |
||
silversurficus |
|
|
3D Homer писал(а): Обозначим исходную функцию с параметром [math]a[/math] через [math]f(x, a)=\frac{x^2}{a}+\frac{a}{1-a}[/math]. VERESK, вы для конкретного [math]a[/math] нашли множество точек, лежащих выше [math]y(x)=f(x,a)[/math]. Неясно, почему для закрашенной точки [math](x,y)[/math] будет выполняться [math]y\ge f(x,a)[/math] для всех [math]a[/math]. searcher писал(а): Давайте рассмотрим один: [math]a\to 1[/math]. Мне кажется, нужно для каждого [math]x[/math] найти [math]\sup_{a>1}f(x,a)[/math]. Обозначим этот супремум через [math]g(x)[/math]. Тогда решением будет множество [math]\{(x,y)\mid y\ge g(x)\}[/math].Нахождение супремума предлагается в качестве упражнения. Я нашел его с помощью производной. Видимо, я понял. Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена. Тогда тут тоже пустое множество? |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
silversurficus писал(а): Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена. Непонятно, что вы имеете в виду под супремумом функции двух аргументов: супремум по обоим аргументам? Тогда да, он не существует, но я нигде не говорил про супремум по обоим аргументам или про супремум по [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math]. Нужно найти супремум по [math]a[/math] при каждом фиксированном [math]x[/math]. Ранее я обозначил этот супремум через [math]g(x)[/math]. Таким образом, по определению [math]g(x)\ge f(x,a)[/math] для любого [math]a[/math]. Значит, если [math]y_0\ge g(x_0)[/math] и если рассмотреть график [math]f(x,a)[/math] как функции от [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math], то точка [math](x_0,y_0)[/math] лежит над этими графиками для каждого [math]a[/math].Искомое множество не пусто. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: silversurficus |
||
silversurficus |
|
|
3D Homer писал(а): silversurficus писал(а): Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена. Непонятно, что вы имеете в виду под супремумом функции двух аргументов: супремум по обоим аргументам? Тогда да, он не существует, но я нигде не говорил про супремум по обоим аргументам или про супремум по [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math]. Нужно найти супремум по [math]a[/math] при каждом фиксированном [math]x[/math]. Ранее я обозначил этот супремум через [math]g(x)[/math]. Таким образом, по определению [math]g(x)\ge f(x,a)[/math] для любого [math]a[/math]. Значит, если [math]y_0\ge g(x_0)[/math] и если рассмотреть график [math]f(x,a)[/math] как функции от [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math], то точка [math](x_0,y_0)[/math] лежит над этими графиками для каждого [math]a[/math].Искомое множество не пусто. Нужно пока осмыслить вами написанное, плюс ещё разобраться с различными математическими обозначениями, используемыми вами. Завтра разберусь и отпишу, что получил, спасибо большое |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Когда зашёл в тему, думал, что задача простая. И решать ничего не надо. Будем рассматривать задачу с позиции какой-то точки. Какую бы мы точку не взяли на плоскости, всегда найдётся парабола, которая лежит выше этой точки. Отсюда, как-бы очевиден ответ. Теперь, когда пошли формулы, я уже ничего не понимаю. Надеюсь, что топик-стартер добьёт решение.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: silversurficus |
||
silversurficus |
|
|
3D Homer писал(а): silversurficus писал(а): Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена. Непонятно, что вы имеете в виду под супремумом функции двух аргументов: супремум по обоим аргументам? Тогда да, он не существует, но я нигде не говорил про супремум по обоим аргументам или про супремум по [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math]. Нужно найти супремум по [math]a[/math] при каждом фиксированном [math]x[/math]. Ранее я обозначил этот супремум через [math]g(x)[/math]. Таким образом, по определению [math]g(x)\ge f(x,a)[/math] для любого [math]a[/math]. Значит, если [math]y_0\ge g(x_0)[/math] и если рассмотреть график [math]f(x,a)[/math] как функции от [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math], то точка [math](x_0,y_0)[/math] лежит над этими графиками для каждого [math]a[/math].Искомое множество не пусто. Хорошо, я вот поразмыслил на досуге. Попытался найти супремум g(x)(супремум по а при каждом фиксированном х). Для этого взял производную от f(x,a), где x - const. Получил следующее: [math](f(x,a))'= (a^{2}-x^{2}(a-1)^{2})\slash ((1-a)^2a^2)[/math]. Отсюда выразили a: [math]a= x\slash(x \pm 1)[/math] Подставили в исходную функцию, получили, что при этом значении а [math]f(x,a)=x^2 \pm 2x[/math] Что делать дальше, не совсем понимаю. Какое из этих значений - наш супремум? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 37 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Координаты точек, лежащих на отрезках
в форуме Геометрия |
1 |
263 |
29 авг 2018, 22:06 |
|
Уравнение множества точек | 8 |
500 |
08 янв 2018, 18:59 |
|
Уравнение множества точек | 2 |
91 |
09 дек 2023, 22:55 |
|
Составить уравнение множества точек | 7 |
387 |
08 дек 2020, 12:47 |
|
Множества точек на комплексной плоскости | 3 |
293 |
19 дек 2019, 21:17 |
|
Найти множества предельных точек
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
2 |
723 |
04 янв 2019, 12:35 |
|
Границы заданного множества точек на плоскости
в форуме Информатика и Компьютерные науки |
3 |
237 |
01 дек 2019, 12:07 |
|
Построение множества точек на комплексной плоскости
в форуме Алгебра |
5 |
689 |
16 окт 2020, 15:05 |
|
Определить мощность множества точек на плоскости | 3 |
357 |
15 дек 2020, 13:01 |
|
Построение множества точек на комплексной плоскости | 2 |
280 |
16 окт 2020, 14:56 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |