Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 19:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
silversurficus
Поскольку задача у вас не получается. попробуйте для начала решить задачу попроще. Пусть у нас семейство парабол задаётся формулой: [math]f_{\beta} (x)=x^2+ \beta[/math] . Подумайте, какую область накрывает это семейство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 20:03 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
22 янв 2021, 20:56
Сообщений: 52
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
silversurficus
Поскольку задача у вас не получается. попробуйте для начала решить задачу попроще. Пусть у нас семейство парабол задаётся формулой: [math]f_{\beta} (x)=x^2+ \beta[/math] . Подумайте, какую область накрывает это семейство.

Наверное, скажу глупость, но область, которую накрывает это семейство, это область которую накрывает парабола x^2 с вершиной в минус бесконечности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 20:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
VERESK писал(а):
На параболе [math]\;y=f(x,a)[/math]. Фиксируем [math]\;(a,x)[/math], увеличиваем [math]\;y[/math], вверху [math]\;y>f(x,a)[/math].
Ну и что? Будет ли [math]y\ge f(x,a)[/math] для других (всех) [math]a[/math]?

Например, [math]f(5,6\slash 5)=89\slash 6=14\,\frac{5}{6}[/math]. Если чуть увеличить [math]a[/math], то значение [math]f(x,a)[/math] вырастет: [math]f(5,5\slash 4)=15[/math], а при дальнейшем увеличении имеем [math]f(5,4\slash 3)=59\slash 4=14\,\frac{3}{4}[/math], и вообще [math]f(5,a)[/math] уменьшается при возрастании [math]a[/math]. Искомому множеству принадлежат точки [math](5,y)[/math] при [math]y\ge 15[/math].

VERESK писал(а):
Поведение будет ясно, если нарисовать несколько парабол при разных значениях [math]a[/math] в одних координатах.
Может, напишете, что именно ясно?

silversurficus писал(а):
Наверное, скажу глупость, но область, которую накрывает это семейство, это область которую накрывает парабола x^2 с вершиной в минус бесконечности.
Такой параболы не существует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 20:13 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
22 янв 2021, 20:56
Сообщений: 52
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
VERESK писал(а):
На параболе [math]\;y=f(x,a)[/math]. Фиксируем [math]\;(a,x)[/math], увеличиваем [math]\;y[/math], вверху [math]\;y>f(x,a)[/math].
Ну и что? Будет ли [math]y\ge f(x,a)[/math] для других (всех) [math]a[/math]?

Например, [math]f(5,6\slash 5)=89\slash 6=14\,\frac{5}{6}[/math]. Если чуть увеличить [math]a[/math], то значение [math]f(x,a)[/math] вырастет: [math]f(5,5\slash 4)=15[/math], а при дальнейшем увеличении имеем [math]f(5,4\slash 3)=59\slash 4=14\,\frac{3}{4}[/math], и вообще [math]f(5,a)[/math] уменьшается при возрастании [math]a[/math]. Искомому множеству принадлежат точки [math](5,y)[/math] при [math]y\ge 15[/math].

VERESK писал(а):
Поведение будет ясно, если нарисовать несколько парабол при разных значениях [math]a[/math] в одних координатах.
Может, напишете, что именно ясно?

silversurficus писал(а):
Наверное, скажу глупость, но область, которую накрывает это семейство, это область которую накрывает парабола x^2 с вершиной в минус бесконечности.
Такой параболы не существует.

Тогда какой правильный ответ на поставленный вопрос? Какую область будет накрывать такое семейство парабол, о котором говорит searcher?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 20:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
silversurficus писал(а):
Тогда какой правильный ответ на поставленный вопрос?
Предположим, что вы говорите про вопрос уважаемого searcher'а.
searcher писал(а):
Пусть у нас семейство парабол задаётся формулой: [math]f_{\beta} (x)=x^2+ \beta[/math]. Подумайте, какую область накрывает это семейство.

Также предположим, что под фразой "какую область накрывает это семейство" имеется в виду задание, аналогичное заданию из начального сообщения этой темы, то есть найти множество [math]S=\{(x,y)\mid \forall \beta\;y\ge x^2+\beta\}[/math] (∀ читается "для любого"). Тогда [math]S[/math] — пустое множество. Действительно, возьмем какую-нибудь точку [math](x,y)[/math] и исследуем на принадлежность [math]S[/math]. Можно ли найти такое [math]\beta[/math], что [math]x^2+\beta>y[/math]? Конечно, достаточно взять [math]\beta=y+1[/math]. Значит, условие [math]\forall \beta\;y\ge x^2+\beta[/math] не выполняется ни для каких [math]x[/math] и [math]y[/math]. Это также видно из того, что при фиксированном [math]x[/math] функция [math]x^2+\beta[/math] от аргумента [math]\beta[/math] не имеет максимума.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
silversurficus
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 20:37 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
22 янв 2021, 20:56
Сообщений: 52
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Обозначим исходную функцию с параметром [math]a[/math] через [math]f(x, a)=\frac{x^2}{a}+\frac{a}{1-a}[/math].

VERESK, вы для конкретного [math]a[/math] нашли множество точек, лежащих выше [math]y(x)=f(x,a)[/math]. Неясно, почему для закрашенной точки [math](x,y)[/math] будет выполняться [math]y\ge f(x,a)[/math] для всех [math]a[/math].

searcher писал(а):
Давайте рассмотрим один: [math]a\to 1[/math].
Мне кажется, нужно для каждого [math]x[/math] найти [math]\sup_{a>1}f(x,a)[/math]. Обозначим этот супремум через [math]g(x)[/math]. Тогда решением будет множество [math]\{(x,y)\mid y\ge g(x)\}[/math].

Нахождение супремума предлагается в качестве упражнения. Я нашел его с помощью производной.

Видимо, я понял. Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена. Тогда тут тоже пустое множество?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 20:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
silversurficus писал(а):
Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена.
Непонятно, что вы имеете в виду под супремумом функции двух аргументов: супремум по обоим аргументам? Тогда да, он не существует, но я нигде не говорил про супремум по обоим аргументам или про супремум по [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math]. Нужно найти супремум по [math]a[/math] при каждом фиксированном [math]x[/math]. Ранее я обозначил этот супремум через [math]g(x)[/math]. Таким образом, по определению [math]g(x)\ge f(x,a)[/math] для любого [math]a[/math]. Значит, если [math]y_0\ge g(x_0)[/math] и если рассмотреть график [math]f(x,a)[/math] как функции от [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math], то точка [math](x_0,y_0)[/math] лежит над этими графиками для каждого [math]a[/math].

Искомое множество не пусто.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
silversurficus
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 06 май 2021, 22:54 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
22 янв 2021, 20:56
Сообщений: 52
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
silversurficus писал(а):
Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена.
Непонятно, что вы имеете в виду под супремумом функции двух аргументов: супремум по обоим аргументам? Тогда да, он не существует, но я нигде не говорил про супремум по обоим аргументам или про супремум по [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math]. Нужно найти супремум по [math]a[/math] при каждом фиксированном [math]x[/math]. Ранее я обозначил этот супремум через [math]g(x)[/math]. Таким образом, по определению [math]g(x)\ge f(x,a)[/math] для любого [math]a[/math]. Значит, если [math]y_0\ge g(x_0)[/math] и если рассмотреть график [math]f(x,a)[/math] как функции от [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math], то точка [math](x_0,y_0)[/math] лежит над этими графиками для каждого [math]a[/math].

Искомое множество не пусто.

Нужно пока осмыслить вами написанное, плюс ещё разобраться с различными математическими обозначениями, используемыми вами. Завтра разберусь и отпишу, что получил, спасибо большое

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 07 май 2021, 08:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Когда зашёл в тему, думал, что задача простая. И решать ничего не надо. Будем рассматривать задачу с позиции какой-то точки. Какую бы мы точку не взяли на плоскости, всегда найдётся парабола, которая лежит выше этой точки. Отсюда, как-бы очевиден ответ. Теперь, когда пошли формулы, я уже ничего не понимаю. Надеюсь, что топик-стартер добьёт решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
silversurficus
 Заголовок сообщения: Re: Множества точек, лежащих не ниже параболы
СообщениеДобавлено: 07 май 2021, 18:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
22 янв 2021, 20:56
Сообщений: 52
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
silversurficus писал(а):
Супремум этой функции f(a,x) - это плюс бесконечность для а>1, ведь функция ничем сверху не ограничена.
Непонятно, что вы имеете в виду под супремумом функции двух аргументов: супремум по обоим аргументам? Тогда да, он не существует, но я нигде не говорил про супремум по обоим аргументам или про супремум по [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math]. Нужно найти супремум по [math]a[/math] при каждом фиксированном [math]x[/math]. Ранее я обозначил этот супремум через [math]g(x)[/math]. Таким образом, по определению [math]g(x)\ge f(x,a)[/math] для любого [math]a[/math]. Значит, если [math]y_0\ge g(x_0)[/math] и если рассмотреть график [math]f(x,a)[/math] как функции от [math]x[/math] при фиксированном [math]a[/math], то точка [math](x_0,y_0)[/math] лежит над этими графиками для каждого [math]a[/math].

Искомое множество не пусто.

Хорошо, я вот поразмыслил на досуге. Попытался найти супремум g(x)(супремум по а при каждом фиксированном х). Для этого взял производную от f(x,a), где x - const. Получил следующее:
[math](f(x,a))'= (a^{2}-x^{2}(a-1)^{2})\slash ((1-a)^2a^2)[/math].
Отсюда выразили a:
[math]a= x\slash(x \pm 1)[/math]
Подставили в исходную функцию, получили, что при этом значении а
[math]f(x,a)=x^2 \pm 2x[/math]
Что делать дальше, не совсем понимаю. Какое из этих значений - наш супремум?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 3 из 4 [ Сообщений: 37 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Координаты точек, лежащих на отрезках

в форуме Геометрия

petrouch

1

263

29 авг 2018, 22:06

Уравнение множества точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Ronika

8

500

08 янв 2018, 18:59

Уравнение множества точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Sasha9468

2

91

09 дек 2023, 22:55

Составить уравнение множества точек

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

dmlch

7

387

08 дек 2020, 12:47

Множества точек на комплексной плоскости

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

nad27

3

293

19 дек 2019, 21:17

Найти множества предельных точек

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

youi

2

723

04 янв 2019, 12:35

Границы заданного множества точек на плоскости

в форуме Информатика и Компьютерные науки

humanist

3

237

01 дек 2019, 12:07

Построение множества точек на комплексной плоскости

в форуме Алгебра

uiiiiiii

5

689

16 окт 2020, 15:05

Определить мощность множества точек на плоскости

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Zqquiet

3

357

15 дек 2020, 13:01

Построение множества точек на комплексной плоскости

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

uiiiiiii

2

280

16 окт 2020, 14:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved