Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=7270
Страница 1 из 1

Автор:  deman-xxx [ 20 июл 2011, 23:48 ]
Заголовок сообщения:  Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом

Доказать, что сумма 1^3+2^3+...+n^3 при любом n является квадратом натурального числа.
То есть надо доказать,что 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
:wink:

Автор:  Andy [ 21 июл 2011, 06:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Очередное доказательство

deman-xxx
Это можно доказать при помощи метода математической индукции. Но посмотрите следующую статью:
http://oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog03.htm

Автор:  kalliope [ 21 июл 2011, 08:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Очередное доказательство

[math]1^3+2^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=(\frac{1+n}{2}n)^2[/math]
[math]1)n=1,=> 1=1.[/math]

[math]2)n=k[/math]

[math]1^3+2^3+...+k^3=(\frac{1+k}{2}k)^2[/math]

[math]3) n=k+1[/math]

[math]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(\frac{1+k}{2}k)^2+(k+1)^3=(k+1)^2\frac{k^2+4k+4}{2^2}=(\frac{k+2}{2}(k+1))^2=(\frac{1+(k+1)}{2}(k+1))^2[/math]

Автор:  deman-xxx [ 21 июл 2011, 08:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Очередное доказательство

Спасибо,теперь дошло :)

Автор:  mad_math [ 21 июл 2011, 10:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Очередное доказательство

эта задача здесь уже решалась.

Автор:  and1 [ 12 май 2013, 05:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом

доказательство в одну строчку в работе: "Линейное пространство степенных функций матрично-групповой подход"

Автор:  Avgust [ 12 май 2013, 07:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом

Данная задача стара, как мир и легка, как пушинка.

Меня интересует другая задача: как доказать, что отношение

[math]{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{k}^{5}}{n \left( n+1 \right) }}[/math]

есть число либо целое, либо половина нечетного?

Автор:  Uncle Fedor [ 12 май 2013, 08:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом

[math]\frac{{\sum\limits_{k = 1}^n{{k^5}}}}{{n\left({n + 1}\right)}}= \frac{{{n^2}{{\left({n + 1}\right)}^2}\left({2{n^2}+ 2n - 1}\right)}}{{12n\left({n + 1}\right)}}= \frac{{n\left({n + 1}\right)\left({2{n^2}+ 2n - 1}\right)}}{{12}}= \frac{{n\left({n + 1}\right)\left[{2\left({n - 1}\right)\left({n + 2}\right) + 3}\right]}}{{12}}=[/math]

[math]= \frac{{2\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 3n\left( {n + 1} \right)}}{{12}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{4} =[/math]

[math]= \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6} + \frac{{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{2}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/