| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=7270 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | deman-xxx [ 20 июл 2011, 23:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом |
Доказать, что сумма 1^3+2^3+...+n^3 при любом n является квадратом натурального числа. То есть надо доказать,что 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
|
|
| Автор: | Andy [ 21 июл 2011, 06:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Очередное доказательство |
deman-xxx Это можно доказать при помощи метода математической индукции. Но посмотрите следующую статью: http://oldskola.narod.ru/RozLog/rozlog03.htm |
|
| Автор: | kalliope [ 21 июл 2011, 08:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Очередное доказательство |
[math]1^3+2^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=(\frac{1+n}{2}n)^2[/math] [math]1)n=1,=> 1=1.[/math] [math]2)n=k[/math] [math]1^3+2^3+...+k^3=(\frac{1+k}{2}k)^2[/math] [math]3) n=k+1[/math] [math]1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(\frac{1+k}{2}k)^2+(k+1)^3=(k+1)^2\frac{k^2+4k+4}{2^2}=(\frac{k+2}{2}(k+1))^2=(\frac{1+(k+1)}{2}(k+1))^2[/math] |
|
| Автор: | deman-xxx [ 21 июл 2011, 08:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Очередное доказательство |
Спасибо,теперь дошло
|
|
| Автор: | mad_math [ 21 июл 2011, 10:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Очередное доказательство |
эта задача здесь уже решалась. |
|
| Автор: | and1 [ 12 май 2013, 05:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом |
доказательство в одну строчку в работе: "Линейное пространство степенных функций матрично-групповой подход" |
|
| Автор: | Avgust [ 12 май 2013, 07:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом |
Данная задача стара, как мир и легка, как пушинка. Меня интересует другая задача: как доказать, что отношение [math]{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{k}^{5}}{n \left( n+1 \right) }}[/math] есть число либо целое, либо половина нечетного? |
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 12 май 2013, 08:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать,что сумма 1^3+2^3+...+n^3 является квадратом |
[math]\frac{{\sum\limits_{k = 1}^n{{k^5}}}}{{n\left({n + 1}\right)}}= \frac{{{n^2}{{\left({n + 1}\right)}^2}\left({2{n^2}+ 2n - 1}\right)}}{{12n\left({n + 1}\right)}}= \frac{{n\left({n + 1}\right)\left({2{n^2}+ 2n - 1}\right)}}{{12}}= \frac{{n\left({n + 1}\right)\left[{2\left({n - 1}\right)\left({n + 2}\right) + 3}\right]}}{{12}}=[/math] [math]= \frac{{2\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 3n\left( {n + 1} \right)}}{{12}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{4} =[/math] [math]= \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6} + \frac{{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{2}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|