| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Возрастающие степени в произведение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=66385 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | math_user [ 28 авг 2019, 13:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Возрастающие степени в произведение |
Есть выражение: [math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math] Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней? Немного похожее выражение: [math]1+2^n+3^n+...+m^n[/math] Оно преобразуется в произведение m+1 на дополнительные множители, зависящие от n. Может и для первой суммы с возрастающей степенью есть похожее преобразование? |
|
| Автор: | Andy [ 28 авг 2019, 13:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
math_user math_user писал(а): Есть выражение: [math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math] Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней? Немного похожее выражение: [math]1+2^n+3^n+...+m^n[/math] Оно преобразуется в произведение m+1 на дополнительные множители, зависящие от n. Может и для первой суммы с возрастающей степенью есть похожее преобразование? Как Вы получили указанное Вами выражение для [math]a=2[/math]? |
|
| Автор: | michel [ 28 авг 2019, 13:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
В общем случае такой формулы не существует уже для случая [math]n=2[/math]: [math]a^2+a+1[/math] нельзя разложить на целые множители. |
|
| Автор: | searcher [ 28 авг 2019, 14:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
math_user писал(а): Есть выражение: [math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math] Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней? Для каких других степеней? И какие степени не другие? math_user писал(а): Есть выражение: [math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math] Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], Для любых степеней проходит. Но мне кажется, вы хотели спросить что-то другое. |
|
| Автор: | math_user [ 28 авг 2019, 14:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
Andy писал(а): Как Вы получили указанное Вами выражение для [math]a=2[/math]? В двоичной системе 1111...1111+1=1000...0000. Число нулей справа равно числу единиц слева. Плюс известная задача о сумме постоянно уменьшающихся в два раза составляющих, дающих в результате двойной первый аргумент (что то эквивалентно двоичной системе, но выражено по другому). |
|
| Автор: | math_user [ 28 авг 2019, 14:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
michel писал(а): В общем случае такой формулы не существует уже для случая [math]n=2[/math]: [math]a^2+a+1[/math] нельзя разложить на целые множители. А в частных случаях? То есть в сумме возрастающих оснований в одинаковой степени тоже общее решение выглядит специфически, но частные решения содержат [math](n+1)[/math] в качестве множителя. |
|
| Автор: | math_user [ 28 авг 2019, 14:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
searcher писал(а): Для каких других степеней? И какие степени не другие? Да, перепутал, правильно - для других оснований (кроме двойки). |
|
| Автор: | math_user [ 28 авг 2019, 14:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
Хотя дошло (спасибо Andy) - аналогично двоичной системе можно прибавлять единицу, но вместе с самой последовательностью, умноженной на основание системы счисления минус один. [math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0 = (a-1)^{-1}*(a^{n+1}-1)[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 28 авг 2019, 14:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
math_user Понятно. Действительно, если [math]a=2,[/math] то при [math]n=1[/math] имеем [math]2^1+2^0=2+1=3[/math] и [math]2^2-1=3;[/math] при [math]n=2[/math] имеем [math]2^2+2^1+2^0=4+2+1=7[/math] и [math]2^3-1=7;[/math] наверное, воспользовавшись методом математической индукции Вы сумеете доказать правильность тождества для [math]a=2[/math] при любых натуральных [math]n.[/math] Не пробовали? А выполняется ли это тождество, например, при других значениях [math]a,[/math] по-Вашему? |
|
| Автор: | math_user [ 28 авг 2019, 16:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Возрастающие степени в произведение |
Andy писал(а): А выполняется ли это тождество, например, при других значениях [math]a,[/math] по-Вашему? Возможно вы отправили своё сообщение не увидев моего последнего, в котором есть общая формула. Она выполняется. В любой системе счисления для превращения всех разрядов в ноль нужно получить старший допустимый символ в каждом разряде, что делается умножением последовательности из первого сообщения на n-1, где n - основание системы счисления, а затем прибавляем единицу к готовой к превращению последовательности. Так сказать - готовим фазовый переход и добавляем каплю энергии, получаем резкую смену состояния всей системы. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|