Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Возрастающие степени в произведение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=66385
Страница 1 из 2

Автор:  math_user [ 28 авг 2019, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Возрастающие степени в произведение

Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней?

Немного похожее выражение:

[math]1+2^n+3^n+...+m^n[/math]

Оно преобразуется в произведение m+1 на дополнительные множители, зависящие от n. Может и для первой суммы с возрастающей степенью есть похожее преобразование?

Автор:  Andy [ 28 авг 2019, 13:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

math_user
math_user писал(а):
Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней?

Немного похожее выражение:

[math]1+2^n+3^n+...+m^n[/math]

Оно преобразуется в произведение m+1 на дополнительные множители, зависящие от n. Может и для первой суммы с возрастающей степенью есть похожее преобразование?

Как Вы получили указанное Вами выражение для [math]a=2[/math]?

Автор:  michel [ 28 авг 2019, 13:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

В общем случае такой формулы не существует уже для случая [math]n=2[/math]: [math]a^2+a+1[/math] нельзя разложить на целые множители.

Автор:  searcher [ 28 авг 2019, 14:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

math_user писал(а):
Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math], а как преобразовать для других степеней?


Для каких других степеней? И какие степени не другие?
math_user писал(а):
Есть выражение:

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0[/math]

Для а=2 выражение преобразуется в [math]a^{n+1}-1[/math],


Для любых степеней проходит.
Но мне кажется, вы хотели спросить что-то другое.

Автор:  math_user [ 28 авг 2019, 14:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

Andy писал(а):
Как Вы получили указанное Вами выражение для [math]a=2[/math]?

В двоичной системе 1111...1111+1=1000...0000. Число нулей справа равно числу единиц слева. Плюс известная задача о сумме постоянно уменьшающихся в два раза составляющих, дающих в результате двойной первый аргумент (что то эквивалентно двоичной системе, но выражено по другому).

Автор:  math_user [ 28 авг 2019, 14:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

michel писал(а):
В общем случае такой формулы не существует уже для случая [math]n=2[/math]: [math]a^2+a+1[/math] нельзя разложить на целые множители.

А в частных случаях? То есть в сумме возрастающих оснований в одинаковой степени тоже общее решение выглядит специфически, но частные решения содержат [math](n+1)[/math] в качестве множителя.

Автор:  math_user [ 28 авг 2019, 14:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

searcher писал(а):
Для каких других степеней? И какие степени не другие?

Да, перепутал, правильно - для других оснований (кроме двойки).

Автор:  math_user [ 28 авг 2019, 14:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

Хотя дошло (спасибо Andy) - аналогично двоичной системе можно прибавлять единицу, но вместе с самой последовательностью, умноженной на основание системы счисления минус один.

[math]a^n+a^{n-1}+...+a^1+a^0 = (a-1)^{-1}*(a^{n+1}-1)[/math]

Автор:  Andy [ 28 авг 2019, 14:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

math_user
Понятно. Действительно, если [math]a=2,[/math] то
при [math]n=1[/math] имеем [math]2^1+2^0=2+1=3[/math] и [math]2^2-1=3;[/math]
при [math]n=2[/math] имеем [math]2^2+2^1+2^0=4+2+1=7[/math] и [math]2^3-1=7;[/math]
наверное, воспользовавшись методом математической индукции Вы сумеете доказать правильность тождества для [math]a=2[/math] при любых натуральных [math]n.[/math] Не пробовали?

А выполняется ли это тождество, например, при других значениях [math]a,[/math] по-Вашему?

Автор:  math_user [ 28 авг 2019, 16:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Возрастающие степени в произведение

Andy писал(а):
А выполняется ли это тождество, например, при других значениях [math]a,[/math] по-Вашему?

Возможно вы отправили своё сообщение не увидев моего последнего, в котором есть общая формула. Она выполняется. В любой системе счисления для превращения всех разрядов в ноль нужно получить старший допустимый символ в каждом разряде, что делается умножением последовательности из первого сообщения на n-1, где n - основание системы счисления, а затем прибавляем единицу к готовой к превращению последовательности. Так сказать - готовим фазовый переход и добавляем каплю энергии, получаем резкую смену состояния всей системы.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/