Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=65924
Страница 1 из 1

Автор:  kyper5 [ 05 июл 2019, 11:48 ]
Заголовок сообщения:  Неравенство

Помогите, пожалуйста, решить!
Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором неравенство
3[math]^{3a + x}[/math] [math]+ 3^{3a - x}[/math] [math]+ 3^{2a + 2x}[/math] [math]+ 3^{2a - 2x}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math] не имеет решения

Автор:  kyper5 [ 05 июл 2019, 12:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство

До чего дошел сам:

3[math]^{2a}[/math][math]\left( 3^{a + x} + 3^{a - x} + 3^{2x} + 3^{-2x} \right)[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math]
3[math]^{a+x}[/math] [math]+ 3^{a-x}[/math] [math]+ 3^{2x}[/math] [math]+ 3^{-2x}[/math] [math]\leqslant 170[/math]
3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ 3^{2x} + 2 + 3^{-2x} - 172[/math] [math]\leqslant 0[/math]
3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ \left( 3^{x} + 3^{-x} \right)^{2}[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math]
3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]= y[/math]
y [math]> 0[/math]
3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math]
y[math]^{2}[/math] [math]+ 3^{a}y[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math]
D [math]= 3^{2a}[/math] [math]+ 688[/math]
3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math] , значит 3[math]^{2a}[/math] [math]> 0[/math] , значит решения неравенства есть так как D [math]> 0[/math]

y[math]_{1}[/math] [math]\equiv - \frac{ 3^{a} + \sqrt{3^{2a} + 688 } }{ b }[/math]
так как y [math]> 0[/math] корень не подходит

y[math]_{2}[/math] [math]= \frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math]

[math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]>0[/math] при любых a
То есть по сути неравенство имеет решение при любых возможных a
Где-то я ошибся, понять не могу где(

Автор:  michel [ 05 июл 2019, 12:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство

Вы ещё не учли, что переменная [math]y \geqslant 2[/math].
Достаточно найти такие значения параметра [math]a[/math], для которых решения квадратного неравенства для [math]y[/math] будут меньше двух. У меня вышло [math]a>log_3 84[/math], т.е. наименьшее целое значение [math]a=5[/math].

Автор:  kyper5 [ 05 июл 2019, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство

А почему y [math]\geqslant 2[/math] ?

Автор:  michel [ 05 июл 2019, 13:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство

Потому что [math]3^x+3^{-x} \geqslant 2[/math] - неравенство Коши.

Автор:  kyper5 [ 05 июл 2019, 14:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство

Спасибо большое понял, про Коши я забыл)

Автор:  kyper5 [ 05 июл 2019, 16:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неравенство

Проверил ответ будет 5. Если вдруг кому понадобится допишу решение:
[math]\frac{ 3^{x} + 3^{-x} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{3^{x} \times 3^{-x} }[/math] [math]= \sqrt{1}[/math]
[math]= 1[/math] (по правилу Коши)

3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]\geqslant 2[/math]
y [math]\geqslant 2[/math]

[math]\frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant 2[/math]

[math]\sqrt{3^{2a} + 688}[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]\geqslant 4[/math]
[math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant 4 - 3^{a}[/math]
[math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{\left( 4 - 3^{a} \right)^{2} }[/math]
3[math]^{2a}[/math] [math]+ 688[/math] [math]\geqslant 16 - 8 \times 3^{a} + 3^{2a}[/math]
3[math]^{2a}[/math]-3[math]^{2a}[/math] [math]- 8 \times 3^{a}[/math] [math]\geqslant 16 - 688[/math]
-8 [math]\times 3^{a}[/math] [math]\geqslant -672[/math]
3[math]^{a}[/math] [math]\leqslant 84[/math]
a [math]\leqslant \log_{3}{84}[/math] [math]\approx 4.033[/math]
Значит у неравенства есть решения при любых a меньших 4.033, то есть наименьшее натуральное число, при котором неравенство не имеет решений равно 5. При 5 не равенство не решаемо, а при 4 решаемо, проверим:
возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 4[/math]
3[math]^{12}[/math] [math]+ 3^{12}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{8}[/math]
1076004 [math]\leqslant 1115370[/math] неравенство верно
возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 5[/math]
3[math]^{15}[/math] [math]+ 3^{15}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{10}[/math]
28815912 [math]\leqslant 10038330[/math] неравенство неверно
Ответ:5
Всем большое спасибо, тема закрыта!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/