| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Неравенство http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=65924 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | kyper5 [ 05 июл 2019, 11:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Неравенство |
Помогите, пожалуйста, решить! Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором неравенство 3[math]^{3a + x}[/math] [math]+ 3^{3a - x}[/math] [math]+ 3^{2a + 2x}[/math] [math]+ 3^{2a - 2x}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math] не имеет решения |
|
| Автор: | kyper5 [ 05 июл 2019, 12:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство |
До чего дошел сам: 3[math]^{2a}[/math][math]\left( 3^{a + x} + 3^{a - x} + 3^{2x} + 3^{-2x} \right)[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{2a}[/math] 3[math]^{a+x}[/math] [math]+ 3^{a-x}[/math] [math]+ 3^{2x}[/math] [math]+ 3^{-2x}[/math] [math]\leqslant 170[/math] 3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ 3^{2x} + 2 + 3^{-2x} - 172[/math] [math]\leqslant 0[/math] 3[math]^{a}[/math][math]\left( 3^{x} + 3^{-x} \right)[/math] [math]+ \left( 3^{x} + 3^{-x} \right)^{2}[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math] 3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]= y[/math] y [math]> 0[/math] 3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math] y[math]^{2}[/math] [math]+ 3^{a}y[/math] [math]- 172[/math] [math]\leqslant 0[/math] D [math]= 3^{2a}[/math] [math]+ 688[/math] 3[math]^{a}[/math] [math]> 0[/math] , значит 3[math]^{2a}[/math] [math]> 0[/math] , значит решения неравенства есть так как D [math]> 0[/math] y[math]_{1}[/math] [math]\equiv - \frac{ 3^{a} + \sqrt{3^{2a} + 688 } }{ b }[/math] так как y [math]> 0[/math] корень не подходит y[math]_{2}[/math] [math]= \frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]>0[/math] при любых a То есть по сути неравенство имеет решение при любых возможных a Где-то я ошибся, понять не могу где( |
|
| Автор: | michel [ 05 июл 2019, 12:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство |
Вы ещё не учли, что переменная [math]y \geqslant 2[/math]. Достаточно найти такие значения параметра [math]a[/math], для которых решения квадратного неравенства для [math]y[/math] будут меньше двух. У меня вышло [math]a>log_3 84[/math], т.е. наименьшее целое значение [math]a=5[/math]. |
|
| Автор: | kyper5 [ 05 июл 2019, 13:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство |
А почему y [math]\geqslant 2[/math] ? |
|
| Автор: | michel [ 05 июл 2019, 13:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство |
Потому что [math]3^x+3^{-x} \geqslant 2[/math] - неравенство Коши. |
|
| Автор: | kyper5 [ 05 июл 2019, 14:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство |
Спасибо большое понял, про Коши я забыл) |
|
| Автор: | kyper5 [ 05 июл 2019, 16:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство |
Проверил ответ будет 5. Если вдруг кому понадобится допишу решение: [math]\frac{ 3^{x} + 3^{-x} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{3^{x} \times 3^{-x} }[/math] [math]= \sqrt{1}[/math] [math]= 1[/math] (по правилу Коши) 3[math]^{x}[/math] [math]+ 3^{-x}[/math] [math]\geqslant 2[/math] y [math]\geqslant 2[/math] [math]\frac{ \sqrt{3^{2a} + 688 } - 3^{a} }{ 2 }[/math] [math]\geqslant 2[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688}[/math] [math]- 3^{a}[/math] [math]\geqslant 4[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant 4 - 3^{a}[/math] [math]\sqrt{3^{2a} + 688 }[/math] [math]\geqslant \sqrt{\left( 4 - 3^{a} \right)^{2} }[/math] 3[math]^{2a}[/math] [math]+ 688[/math] [math]\geqslant 16 - 8 \times 3^{a} + 3^{2a}[/math] 3[math]^{2a}[/math]-3[math]^{2a}[/math] [math]- 8 \times 3^{a}[/math] [math]\geqslant 16 - 688[/math] -8 [math]\times 3^{a}[/math] [math]\geqslant -672[/math] 3[math]^{a}[/math] [math]\leqslant 84[/math] a [math]\leqslant \log_{3}{84}[/math] [math]\approx 4.033[/math] Значит у неравенства есть решения при любых a меньших 4.033, то есть наименьшее натуральное число, при котором неравенство не имеет решений равно 5. При 5 не равенство не решаемо, а при 4 решаемо, проверим: возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 4[/math] 3[math]^{12}[/math] [math]+ 3^{12}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]+ 3^{8}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{8}[/math] 1076004 [math]\leqslant 1115370[/math] неравенство верно возьмем x [math]= 0[/math] , a [math]= 5[/math] 3[math]^{15}[/math] [math]+ 3^{15}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]+ 3^{10}[/math] [math]\leqslant 170 \times 3^{10}[/math] 28815912 [math]\leqslant 10038330[/math] неравенство неверно Ответ:5 Всем большое спасибо, тема закрыта! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|