Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Числовая последовательность. Задача на делимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=65111
Страница 1 из 1

Автор:  Dr_Zet [ 06 май 2019, 22:05 ]
Заголовок сообщения:  Числовая последовательность. Задача на делимость

Числовая последовательность задана рекурренто: [math]_{A1 = 7}[/math],[math]_{A2 = 25}[/math]
[math]_{An+2 = 7An+1 - 12An }[/math]
Нужно доказать, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 1.

Задачка на индукцию, решил подобную задачу, но там было деление без остатка.
Хотел бы вашей помощи, ну или хотя бы приблизительный план решения, что бы я не зажирался)
Большое спасибо.

Автор:  underline [ 06 май 2019, 22:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

Чистая мат.индукция. Первый шаг - выяснение остатков для [math]A_{1}[/math] и [math]A_{2}[/math] при делении на 3. Затем проверка выполнения для [math]A_{3}[/math]. И далее - вывод для общего члена.

Автор:  AGN [ 06 май 2019, 23:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

Если без индукции, то решением рекуррентного уравнения будет [math]a_{n} = 3^{n} + 4^{n}[/math]. Из этих двух слагаемых первое делится на 3 без остатка, а второе дает остаток 1.

Автор:  Dr_Zet [ 07 май 2019, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

underline
Дело в том что не могу понять как доказать что если An и Аn+1 при делении на 3 имеют остаток 1 то Аn+1 имеет то же свойство

Автор:  underline [ 07 май 2019, 20:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

Dr_Zet
В правую часть подставьте числа вида [math]3n+1[/math] и увидете остаток.

Автор:  Booker48 [ 07 май 2019, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

Уже ответили, но раз уж написал более подробно, не стану стирать. :)
Dr_Zet писал(а):
Дело в том что не могу понять как доказать что если An и Аn+1 при делении на 3 имеют остаток 1 то Аn+1 имеет то же свойство

Например, так.
Если целое число [math]p[/math] при делении на [math]3[/math] дает в остатке [math]1[/math], значит его можно представить в виде [math]p = 3q+1[/math], где [math]q[/math] — тоже целое. Представьте [math]a_n[/math] и [math]a_{n+1}[/math] в таком виде, найдите выражение для [math]a_{n+2}[/math] и убедитесь, что и оно представляется в вышеуказанном виде.

Автор:  Dr_Zet [ 07 май 2019, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

Booker48
Да...
Только... У меня число представилось в виде [math]_{ 3(7q-12b) - 5 }[/math]

Автор:  Booker48 [ 08 май 2019, 00:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

Dr_Zet писал(а):
Booker48
Да...
Только... У меня число представилось в виде [math]_{ 3(7q-12b) - 5 }[/math]

Не беда. :)
[math]3(7q-12b)-5=3(7q-12b-2)+1[/math]

Автор:  Dr_Zet [ 08 май 2019, 15:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Числовая последовательность. Задача на делимость

Booker48 писал(а):
Dr_Zet писал(а):
Booker48
Да...
Только... У меня число представилось в виде [math]_{ 3(7q-12b) - 5 }[/math]

Не беда. :)
[math]3(7q-12b)-5=3(7q-12b-2)+1[/math]

Ого...
Спасибо большое, там подобная задачка еще есть, щя руку поднабью)
Спасибо всем что помогли)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/