Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать неравенство
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=57310
Страница 1 из 1

Автор:  Pavel_Kotoff [ 17 дек 2017, 02:06 ]
Заголовок сообщения:  Доказать неравенство

Очередной пример из Виленкина.
http://newgdz.com/fullpage/?30739428/20 ... matematiki
Задача 178: "Докажите, что для любых действительных а и b выполняется неравенство
[math]a^{2}[/math]+[math]b^{2}[/math]+1 [math]\geqslant ab+a+b[/math]
Мои "достижения"
[math]a^{2}[/math]+[math]b^{2}[/math]-ab [math]\geqslant a+b-1[/math]
[math](a^{2}[/math]+[math]b^{2}[/math]-ab) [math]\cdot (a+b)[/math] [math]\geqslant (a+b-1) \cdot (a+b)[/math]
[math]a^{3}[/math]+[math]b^{3}[/math][math]\geqslant (a+b-1) \cdot (a+b)[/math]
В предыдущем примере 177 б) мне удалось доказать, что [math]a^{3}[/math]+[math]b^{3}[/math][math]\geqslant a^{2}b+ab^{2}[/math]
Соответственно. можно сравнивать [math]ab^{2}[/math]+[math]a^{2}b[/math] [math]< > (a+b-1) \cdot (a+b)[/math]
[math]ab\cdot (a+b)[/math] [math]< > (a+b-1) \cdot (a+b)[/math]
Ну и,
[math]ab[/math] [math]< > (a+b-1)[/math]
А дальше полный мозговой тупик.))))
Упоминание в условиях задачи действительных чисел (т.е. рациональных и иррациональных, соответственно) подразумевает использование радикалов, то-бишь, иррациональных чисел. Там с корнями можно ещё попробовать, тогда...
ЗЫ: C квадратом суммы и разницы a и b пробовал, ничего не получается...

Автор:  searcher [ 17 дек 2017, 10:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

[math](a^2+b^2)/2>=ab[/math], [math](a^2+1)/2>=a[/math], [math](b^2+1)/2>=b[/math]. Складываем.

Автор:  Shadows [ 17 дек 2017, 12:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

В более общем случае неравенство

[math]a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca[/math]

сводится к

[math](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0[/math]

Автор:  Pavel_Kotoff [ 17 дек 2017, 13:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать неравенство

Спасибо большое, ребята, я бы не додумался, честно... :good:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/