| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать неравенство http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=57310 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Pavel_Kotoff [ 17 дек 2017, 02:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать неравенство |
Очередной пример из Виленкина. http://newgdz.com/fullpage/?30739428/20 ... matematiki Задача 178: "Докажите, что для любых действительных а и b выполняется неравенство [math]a^{2}[/math]+[math]b^{2}[/math]+1 [math]\geqslant ab+a+b[/math] Мои "достижения" [math]a^{2}[/math]+[math]b^{2}[/math]-ab [math]\geqslant a+b-1[/math] [math](a^{2}[/math]+[math]b^{2}[/math]-ab) [math]\cdot (a+b)[/math] [math]\geqslant (a+b-1) \cdot (a+b)[/math] [math]a^{3}[/math]+[math]b^{3}[/math][math]\geqslant (a+b-1) \cdot (a+b)[/math] В предыдущем примере 177 б) мне удалось доказать, что [math]a^{3}[/math]+[math]b^{3}[/math][math]\geqslant a^{2}b+ab^{2}[/math] Соответственно. можно сравнивать [math]ab^{2}[/math]+[math]a^{2}b[/math] [math]< > (a+b-1) \cdot (a+b)[/math] [math]ab\cdot (a+b)[/math] [math]< > (a+b-1) \cdot (a+b)[/math] Ну и, [math]ab[/math] [math]< > (a+b-1)[/math] А дальше полный мозговой тупик.)))) Упоминание в условиях задачи действительных чисел (т.е. рациональных и иррациональных, соответственно) подразумевает использование радикалов, то-бишь, иррациональных чисел. Там с корнями можно ещё попробовать, тогда... ЗЫ: C квадратом суммы и разницы a и b пробовал, ничего не получается... |
|
| Автор: | searcher [ 17 дек 2017, 10:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать неравенство |
[math](a^2+b^2)/2>=ab[/math], [math](a^2+1)/2>=a[/math], [math](b^2+1)/2>=b[/math]. Складываем. |
|
| Автор: | Shadows [ 17 дек 2017, 12:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать неравенство |
В более общем случае неравенство [math]a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca[/math] сводится к [math](a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0[/math] |
|
| Автор: | Pavel_Kotoff [ 17 дек 2017, 13:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать неравенство |
Спасибо большое, ребята, я бы не додумался, честно...
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|