Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

ММИ
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=55289
Страница 1 из 1

Автор:  Vitko [ 21 июл 2017, 11:48 ]
Заголовок сообщения:  ММИ

Докажите, что n прямых на плоскости разбивают эту плоскость не более чем на [math]\frac{ n \cdot (n+1) }{ 2 } + 1[/math] часть.

Автор:  michel [ 21 июл 2017, 12:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: ММИ

Сначала надо показать (доказать), что только [math]n[/math] прямых общего вида (никакие две из них не параллельны и никакие три из них не пересекаются в одной точке) разбивают плоскость на максимальное число областей. Для индукционного перехода [math]n \to n+1[/math] ([math]n>1[/math]) достаточно геометрически установить, что при проведении очередной [math]n+1[/math] - й прямой добавляются [math]n+1[/math] новых областей

Автор:  KOT_TWO [ 23 июл 2017, 13:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: ММИ

Будем считать, что никакие две прямые не параллельны и в каждой точке пересекаются не более трех прямых.
Проведем доказательство по индукции:
1) 1 прямая разбивает плоскость на 2 часть, 2 прямые - на 4 части, что согласуется с формулой.
2) Теперь пусть, при [math]n=k[/math], [math]k[/math] прямых разбивают плоскость
на [math]\frac{k(k+1)}2+1[/math] областей.
3) тогда, если взять [math]k+1[/math]-ю прямую, не параллельную всем [math]k[/math], рассмотренным ранее,
такую, что все точки пересечения рассмотренных ранее прямых лежат по одну сторону от новой, эта прямая
пересечет все [math]k[/math] прямых и ограничит новые [math]k+1[/math] области.
Общее количество областей будет
[math]\frac{k(k+1)}2+1+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}2+1=\frac{n(n+1)}2+1[/math],
где [math]n=k+1[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/