Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=55076
Страница 1 из 2

Автор:  Amorah [ 21 июн 2017, 19:39 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение

X^2-y^2=4y^2+6 найдите все значения х и y если они целые числа

Автор:  Shadows [ 22 июн 2017, 09:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Если [math]x^2-5y^2[/math] делится на 3, то делится и на 9.

Автор:  Amorah [ 23 июн 2017, 13:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Shadows писал(а):
Если [math]x^2-5y^2[/math] делится на 3, то делится и на 9.
к сожалению,я всеравно не могу решить

Автор:  crazymadman18 [ 30 июн 2017, 20:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Amorah
Есть идея, можно попробовать выразить [math]x = \sqrt{6+5y^{2}}[/math], и по ММИ доказать, что при любых целых [math]y[/math] (здесь можно доказать и для натуральных, ибо квадрат) x не
целый. Там получится [math]x =
\sqrt{5k^2-10k+11}[/math]
эта штука при целых [math]k[/math](k, потому что это мы уже взяли y =k-1) не будет целая.

Автор:  Shadows [ 01 июл 2017, 19:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Ладно, не нравится модуль 3, пусть будет 4.

Уравнение [math]x^2-5y^2=6[/math]

Если x и y разной четности, то левая часть будет нечетной (и следовательно не равна 6, если кто не понял).

Если x и y одинаковой четности, то левая часть будет делится на 4 (......)

Так понятнее? Последние утверждения докажите сами.

Автор:  Xmas [ 01 июл 2017, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Если эксплуатировать "взлом методом грубой силы", то прямой перебор показывает, что среди первых 5000 целых чисел решений нет. Это подозрительно, хотя и не говорит, что решений нет вообще.

Автор:  crazymadman18 [ 05 июл 2017, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Xmas
Написал прогу
▼ вот она
https://yadi.sk/d/p-gzZ7jU3KmxjF
первые 100000 по обеим координатам безуспешно

Автор:  radix [ 06 июл 2017, 01:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Shadows писал(а):
Ладно, не нравится модуль 3, пусть будет 4.

Уравнение [math]x^2-5y^2=6[/math]

Если x и y разной четности, то левая часть будет нечетной (и следовательно не равна 6, если кто не понял).

Если x и y одинаковой четности, то левая часть будет делится на 4 (......)

Так понятнее? Последние утверждения докажите сами.

Попробую ещё подробнее.

Если х и у разной чётности, то квадраты их тоже разной чётности. Поэтому левая часть представляет собой разность двух чисел разной чётности и поэтому нечётна и не может равняться 6, так как 6 - число чётное. Поэтому уравнение не может иметь решений таких, что х и у разной чётности.

Определим, может ли уравнение иметь решения такие, что х и у одной чётности.
1. если х и у четные, то квадраты этих чисел кратны 4, следовательно, левая часть кратна 4. Но правая часть =6, а 6 не кратно 4. Получаем, что х и у не могут быть одновременно чётными.

2. Если х и у нечётные, пусть x=2n-1, y=2m-1. Левая часть принимает вид:
[math](2n-1)^2 -5 (2m-1)^2= 4n^2-4n+1-5 \cdot 4m^2+5 \cdot 4m-5=4 \cdot (n^2-n-5m^2+5m-1)[/math] - кратно 4
но, как и в п.1 получаем, что такая ситуация невозможна, так как 6 не кратно 4.

Таким образом, уравнение не может иметь решений таких, что х и у одной чётности.
Вывод: это уравнение вообще не может иметь решений среди целых чисел.

Автор:  ivashenko [ 06 июл 2017, 02:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Преобразуем исходное уравнение к виду:

[math](x-\sqrt{5}y)^2-10y^2=6[/math]

Выражение в скобке и его квадрат(уменьшаемое) будут иррациональными, причем [math](x-\sqrt{5}y)\ne\sqrt z[/math] [math]\forall x,y,z \in \mathbb Z[/math], вычитаемое [math]10y^2 \in \mathbb Z[/math]. Разность иррационального и целого - число иррациональное, т.е. левая часть уравнения иррациональна, а правая равна 6, пришли к противоречию [math]\Rightarrow[/math] решения данного уравнения в целых числах не существует.

Возможно меня попросят доказать вот это утверждение:
Цитата:
причем [math](x-\sqrt{5}y)\ne\sqrt z[/math] [math]\forall x,y,z \in \mathbb Z[/math]
, я не знаю как оно доказывается, но почти уверен, что существует доказательство этого факта, т.е. какая-то теорема на этот счет.

P.S. А доказывается это утверждение элементарным расписыванием квадрата разности.

Автор:  Shadows [ 06 июл 2017, 09:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

ivashenko писал(а):
Возможно меня попросят доказать вот это утверждение:
Цитата:
причем [math](x-\sqrt{5}y)\ne\sqrt z[/math] [math]\forall x,y,z \in \mathbb Z[/math]
Нет, вот это
ivashenko писал(а):
Преобразуем исходное уравнение к виду:

[math](x-\sqrt{5}y)^2-10y^2=6[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/