Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Формула "тройного" радикала
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=50194
Страница 1 из 1

Автор:  Ivan_Pronin [ 25 сен 2016, 00:22 ]
Заголовок сообщения:  Формула "тройного" радикала

Столкнулся с таким примером [math]\sqrt{17-12\sqrt{2} }+\sqrt[3]{99+70\sqrt{2} }[/math]
Знаю, что ответ [math]6[/math], а точнее [math]3-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}[/math], то есть [math]\sqrt{17-12\sqrt{2} }=3-2\sqrt{2}[/math], а [math]\sqrt{99+70\sqrt{2} }=3+2\sqrt{2}[/math]. Первое следует из формулы сложного радикала, а вот как получить второе? Может быть, есть формула для преобразования выражения вида [math]\sqrt[3]{a+\sqrt{b} }[/math]?
Заранее благодарю.

Автор:  mad_math [ 25 сен 2016, 04:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Формула "тройного" радикала

Ivan_Pronin писал(а):
Первое следует из формулы сложного радикала
Что это за формула такая?

Автор:  searcher [ 25 сен 2016, 08:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Формула "тройного" радикала

Ivan_Pronin. Вы в каком классе учитесь? Алгебру уже начали изучать? Ну там неизвестные, уравнения? Если да, то попробуйте сделать первый шаг к решению, а там народ подключится. А то формулу вашу вряд ли кто помнит на память.

Автор:  Ivan_Pronin [ 25 сен 2016, 10:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Формула "тройного" радикала

Учусь в 11 классе, алгебру изучаю, предмет нравится.
Формула сложного радикала(двойного радикала): [math]\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/math]
Эту формулу мы не изучали, нашёл сам в соседней теме "Основные формулы алгебры".
В общем-то сам пример долго не мог решить, поэтому полез в ГДЗ, там [math]17-12\sqrt{2}[/math] представляют как [math]9+8-2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}[/math], а затем как [math]3^{2}-2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}+\left( 2\sqrt{2} \right) ^{2}[/math] [math]\left( \left( 2\sqrt{2} \right) ^{2} = \left(\sqrt{8} \right) ^{2} \right)[/math]
После этого складываем по формуле сокр. умножения и получаем [math]\sqrt{\left(3-2\sqrt{2} \right) ^{2}} = 3-2\sqrt{2}[/math]
Не знаю как вы, а я бы сам до такого точно не додумался бы, слишком это неочевидно. Мне бы просто в голову не пришло такое. А вот первую часть найти по формуле сложного радикала -- вполне. Остаётся только проблема со второй частью.

Автор:  swan [ 25 сен 2016, 10:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Формула "тройного" радикала

Ivan_Pronin писал(а):
Столкнулся с таким примером [math]\sqrt{17-12\sqrt{2} }+\sqrt[3]{99+70\sqrt{2} }[/math]
Знаю, что ответ [math]6[/math], а точнее [math]3-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}[/math], то есть [math]\sqrt{17-12\sqrt{2} }=3-2\sqrt{2}[/math], а [math]\sqrt{99+70\sqrt{2} }=3+2\sqrt{2}[/math]. Первое следует из формулы сложного радикала, а вот как получить второе? Может быть, есть формула для преобразования выражения вида [math]\sqrt[3]{a+\sqrt{b} }[/math]?
Заранее благодарю.


Не нужно никаких сложных формул.

"Догадываемся", что [math]99+70\sqrt{2}=(a+b\sqrt 2)^3[/math]
Раскрываем скобки и приравниваем соответствующие члены.
Решаем (можно даже перебором) получившиеся уравнения и в случае успеха - у нас готовое разложение.
Аналогично можно искать и другие разложения.
Например,
[math]17-12\sqrt{2}= (a+b\sqrt 2)^2[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned} & a^2+2b^2=17 \\& -2ab=12 \end{aligned}\right.[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned} & a=3 \\& b=-2 \end{aligned}\right.[/math]

[math]17-12\sqrt{2}= (3-2\sqrt 2)^2[/math]

Автор:  Ivan_Pronin [ 25 сен 2016, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Формула "тройного" радикала

swan писал(а):
Не нужно никаких сложных формул.

"Догадываемся", что [math]99+70\sqrt{2}=(a+b\sqrt 2)^3[/math]
Раскрываем скобки и приравниваем соответствующие члены.


В общем-то в ГДЗ такой способ решения и описан. Я, конечно, хотел бы решить по-другому, преобразовав корень третей степени, но и на этом большое спасибо, теперь до конца разобрался, как решить пример способом, предложенным Вами.

Автор:  vvvv [ 30 сен 2016, 19:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Формула "тройного" радикала

Ivan_Pronin, посмотри Я.Н.Суконник. Математические задачи повышенной трудности. Там есть формула преобразования сложного кубического радикала.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/