| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача про дроби - доказать, что дроби несократимы http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=5016 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Anna7 [ 12 апр 2011, 14:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача про дроби - доказать, что дроби несократимы |
Здравствуйте. Решаю задачи по алгебре и случайно наткнулась на задачку. Она звучит так: назовём дроби a/b и c/d (a,b,c,d - целые положительные числа) соседними, если их раз ad-bc/bd имеет числитель +1 или -1, т.е. если ad-bc=+1 или -1. 1. Надо доказать, что в таком случае дроби несократимы (пока на ум только приходит то, что ad-bc/bd=a/b-c/d). 2. Доказать, что если a/b и c/d - соседние, то дробь a+c/b+d находится между ними и является соседней с этими дробями. Заранее огромное спасибо. |
|
| Автор: | gamecreator [ 12 апр 2011, 22:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про дроби |
1. Пусть [math]\frac {a}{b}=\frac {kx}{ky}[/math], где k, x, y - натуральные числа. Тогда [math]\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}=\frac{k\left(xd-yc\right)}{kyd}[/math] Поскольку все числа в числителе натуральные, то разность xd-yc - целое число (абсолютное значение которого равно как минимум 1), а при умножении на натуральное число никак не получится +1 или -1. Но нам дано обратное. Пришли к противоречию. |
|
| Автор: | TorchTT [ 09 янв 2015, 01:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про дроби - доказать, что дроби несократимы |
Вопрос задан в 2011 году, но, возможно, кому-то пригодится, решение 2-й задачи: Если [math]\frac{a+c}{b+d}[/math] находится между [math]\frac{ a }{ b }[/math] и [math]\frac{ c }{ d }[/math], то должно выполняться неравенство: [math]\frac{ c }{ d }[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ a }{ b }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ a+c }{ b+d }[/math] [math]-[/math] [math]\frac{ a }{ b }[/math] Доказательство: После вычитания дробей с обеих сторон получаем: [math]\frac{ cb - ad }{ db }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ cb - ad }{ (b+d)b }[/math] Для справедливости этого неравенства знаменатель первой дроби должен быть меньше знаменателя второй: [math]\boldsymbol{d \cdot b}[/math] [math]<[/math] [math]\left( \boldsymbol{b} + \boldsymbol{d} \right) \cdot \boldsymbol{b}[/math] [math]\boldsymbol{d}[/math] [math]<[/math] [math]\left( \boldsymbol{b} + \boldsymbol{d} \right)[/math] Учитывая, что [math]\boldsymbol{b}[/math] и [math]\boldsymbol{d}[/math] это целые положительные числа, то неравенство верно, значит [math]\frac{a+c}{b+d}[/math] находится между [math]\frac{ a }{ b }[/math] и [math]\frac{ c }{ d }[/math]. Так как [math]\frac{ a }{ b }[/math] и [math]\frac{ c }{ d }[/math] это соседние дроби, то и [math]\frac{a+c}{b+d}[/math] является соседней с этими дробями. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|