Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

На подумать
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=49797
Страница 1 из 1

Автор:  [fUKA] [ 29 июл 2016, 20:48 ]
Заголовок сообщения:  На подумать

Докажите, что любое число, меньшее, чем n!, можно представить в виде суммы нескольких
различных делителей n!

Автор:  danjel [ 30 июл 2016, 05:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: На подумать

По определению, [math]n!=1\cdot 2\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n[/math]. Это значит, что число [math]n![/math] делится на все натуральные числа от [math]1[/math] до [math]n[/math]. По сути, если речь идёт о натуральных числах, и доказывать ничего не надо: любое число [math](n-k)[/math] можно представить как [math]n-(k+1)+1[/math], где [math]0<k<n[/math].

Автор:  swan [ 30 июл 2016, 09:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: На подумать

danjel, для [math]n[/math] чисел доказали. Остался пустяк - доказать для оставшихся [math]n!-n[/math] чисел.

Автор:  Andy [ 30 июл 2016, 09:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: На подумать

danjel писал(а):
По определению, [math]n!=1\cdot 2\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n[/math]. Это значит, что число [math]n![/math] делится на все натуральные числа от [math]1[/math] до [math]n[/math]. По сути, если речь идёт о натуральных числах, и доказывать ничего не надо: любое число [math](n-k)[/math] можно представить как [math]n-(k+1)+1[/math], где [math]0<k<n[/math].

А правильно ли полагать, что [math]n-(k+1)+1[/math] - сумма (не алгебраическая, разумеется)?

Автор:  Shadows [ 30 июл 2016, 09:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: На подумать

[math]\frac{n!}{k+1}\le a<\frac{n!}{k}\;\Rightarrow\;a-\frac{n!}{k+1}<\frac{n!}{k+1}[/math]

Тоест, берем наибольший делител, непревсходящий наше число - доказательство, что различные делители хватят - выше

Автор:  Shadows [ 30 июл 2016, 10:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: На подумать

Спасибо, swan, но тут надо сделать оговорочку - а вдруг эти знаменатели [math]k+1,k+2,\cdots[/math] превзойдут n
Тогда, наверное, по индукции. Пусть [math](n-1)!\le a<n![/math]
И тогда делители, с которыми можно спокойно оперировать:

[math]\frac{n!}{n}<\frac{n!}{n-1}<\cdots<\frac{n!}{n-k+1}\le a <\frac{n!}{n-k}[/math]

и что за конечно число можно сделать остаток меньше [math](n-1)![/math], используя различные делители, больше [math](n-1)![/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/