Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: На подумать
СообщениеДобавлено: 29 июл 2016, 20:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 20:14
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите, что любое число, меньшее, чем n!, можно представить в виде суммы нескольких
различных делителей n!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На подумать
СообщениеДобавлено: 30 июл 2016, 05:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 июл 2016, 00:58
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По определению, [math]n!=1\cdot 2\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n[/math]. Это значит, что число [math]n![/math] делится на все натуральные числа от [math]1[/math] до [math]n[/math]. По сути, если речь идёт о натуральных числах, и доказывать ничего не надо: любое число [math](n-k)[/math] можно представить как [math]n-(k+1)+1[/math], где [math]0<k<n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На подумать
СообщениеДобавлено: 30 июл 2016, 09:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7078
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1670 раз в 1513 сообщениях
Очков репутации: 284

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
danjel, для [math]n[/math] чисел доказали. Остался пустяк - доказать для оставшихся [math]n!-n[/math] чисел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На подумать
СообщениеДобавлено: 30 июл 2016, 09:37 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22360
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
danjel писал(а):
По определению, [math]n!=1\cdot 2\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n[/math]. Это значит, что число [math]n![/math] делится на все натуральные числа от [math]1[/math] до [math]n[/math]. По сути, если речь идёт о натуральных числах, и доказывать ничего не надо: любое число [math](n-k)[/math] можно представить как [math]n-(k+1)+1[/math], где [math]0<k<n[/math].

А правильно ли полагать, что [math]n-(k+1)+1[/math] - сумма (не алгебраическая, разумеется)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: На подумать
СообщениеДобавлено: 30 июл 2016, 09:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1445
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
615 раз в 486 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{n!}{k+1}\le a<\frac{n!}{k}\;\Rightarrow\;a-\frac{n!}{k+1}<\frac{n!}{k+1}[/math]

Тоест, берем наибольший делител, непревсходящий наше число - доказательство, что различные делители хватят - выше

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shadows "Спасибо" сказали:
swan
 Заголовок сообщения: Re: На подумать
СообщениеДобавлено: 30 июл 2016, 10:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
17 окт 2013, 19:46
Сообщений: 1445
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
615 раз в 486 сообщениях
Очков репутации: 163

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, swan, но тут надо сделать оговорочку - а вдруг эти знаменатели [math]k+1,k+2,\cdots[/math] превзойдут n
Тогда, наверное, по индукции. Пусть [math](n-1)!\le a<n![/math]
И тогда делители, с которыми можно спокойно оперировать:

[math]\frac{n!}{n}<\frac{n!}{n-1}<\cdots<\frac{n!}{n-k+1}\le a <\frac{n!}{n-k}[/math]

и что за конечно число можно сделать остаток меньше [math](n-1)![/math], используя различные делители, больше [math](n-1)![/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
На подумать

в форуме Алгебра

[-]

6

495

12 июл 2016, 22:37

На подумать

в форуме Алгебра

olegrog

6

429

13 июл 2016, 18:14

Отличная задачка , что бы подумать

в форуме Алгебра

zooxie

6

369

20 окт 2016, 18:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved