| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=47894 |
Страница 3 из 4 |
| Автор: | Andy [ 28 мар 2016, 16:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
Diego_D, и всё-таки: Andy писал(а): Diego_D писал(а): Сначала надо найти связь между a и b. А потом x и y выразить через a и b. Это неотъемлемая часть задания или рекомендация по его выполнению? |
|
| Автор: | Andy [ 28 мар 2016, 16:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
swan, swan писал(а): Andy писал(а): swan, а как Вы думаете, не сводится ли это задание по большей части к использованию известных свойств квадратного трёхчлена, в частности, теоремы Виета? Нет, потому что решение легко ищется, вот только оно "без формул". У нас есть параметры a и b, мы факторизуем некоторое число N(a,b). Если в разложении числа N(a,b) присутствует делитель специального вида - задача имеет решение, если нет - увы... С помощью арифметических операций и элементарных функций такое не задать. Предположим, что [math]x=y.[/math] Тогда заданное уравнение принимает вид [math]2x+ax^2=b,[/math] или [math]ax^2+2x-b=0[/math] и имеет решения при [math]D=4+4ab=4(1+ab) \ge 0[/math]: [math]x_1=\frac{-2-2 \sqrt{1+ab}}{2}=-1- \sqrt{1+ab},~x_2=\frac{-2+2 \sqrt{1+ab}}{2}=-1+ \sqrt{1+ab}.[/math] Остаётся разобраться, что следует из натуральности хотя бы одного из корней. Можно это сделать?
|
|
| Автор: | Diego_D [ 28 мар 2016, 16:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
Avgust, СПАСИБО Вам большое! Вы действительно правы. |
|
| Автор: | swan [ 28 мар 2016, 16:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
Andy, вы получили частный случай общего решения. Уравнение имеет решение, когда ab+1 - полный квадрат. Но это слишком сильное условие. Уравнение будет иметь решение и при более мягких ограничениях. |
|
| Автор: | Andy [ 28 мар 2016, 16:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
swan, я рассмотрел только случай [math]x=y.[/math] Теперь можно положить для определенности, что [math]x<y,~y=x+n,~n \in \mathbb{N}[/math] и продолжить. Это я к тому, что решение задачи можно свести к исследованию квадратного трёхчлена. При [math]x=y[/math] это удалось. Правда, явное выражение для связи между [math]a[/math] и [math]b[/math] мы пока не имеем. |
|
| Автор: | swan [ 28 мар 2016, 17:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
Andy, мне кажется (точнее я почти уверен), что это тупиковый путь. Потому что полное решение, в том или ином виде, должно быть эквивалентно приведенному мной, то есть сводиться к факторизации ab+1 и рассмотрению его делителей. Как с помощью квадратных трехчленов решить задачу факторизации - я не представляю. |
|
| Автор: | Andy [ 28 мар 2016, 17:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
swan, при [math]y=x+n[/math] получим уравнение [math]ax^2+(2+an)x+(n(a+1)-b)=0.[/math] Можно ведь установить, когда оно имеет корни, в частности, натуральные? Есть ведь ещё и теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами...
|
|
| Автор: | Diego_D [ 28 мар 2016, 17:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
ВСЕМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО! Хочу добавить одно условие. [math]ab+1=2^a[/math] |
|
| Автор: | Andy [ 28 мар 2016, 17:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
Diego_D писал(а): ВСЕМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО! Хочу добавить одно условие. [math]ab+1=2^a[/math] А это условие откуда взялось?
|
|
| Автор: | Diego_D [ 28 мар 2016, 17:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Уравнение |
[math]x+y+axy=b[/math], где [math]ab+1=2^a[/math] При каких заданных натуральных значениях a и b, уравнение имеет хотя бы одно решение в области натуральных чисел? Найти x, y. Сначала надо найти связь между a и b. А потом x и y выразить через a и b. Я понял, без условия задача теряется. |
|
| Страница 3 из 4 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|