Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=47894
Страница 3 из 4

Автор:  Andy [ 28 мар 2016, 16:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Diego_D, и всё-таки:
Andy писал(а):
Diego_D писал(а):
Сначала надо найти связь между a и b. А потом x и y выразить через a и b.

Это неотъемлемая часть задания или рекомендация по его выполнению?

Автор:  Andy [ 28 мар 2016, 16:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

swan,
swan писал(а):
Andy писал(а):
swan, а как Вы думаете, не сводится ли это задание по большей части к использованию известных свойств квадратного трёхчлена, в частности, теоремы Виета?

Нет, потому что решение легко ищется, вот только оно "без формул". У нас есть параметры a и b, мы факторизуем некоторое число N(a,b). Если в разложении числа N(a,b) присутствует делитель специального вида - задача имеет решение, если нет - увы...
С помощью арифметических операций и элементарных функций такое не задать.

Предположим, что [math]x=y.[/math] Тогда заданное уравнение принимает вид
[math]2x+ax^2=b,[/math]

или
[math]ax^2+2x-b=0[/math]

и имеет решения при [math]D=4+4ab=4(1+ab) \ge 0[/math]:
[math]x_1=\frac{-2-2 \sqrt{1+ab}}{2}=-1- \sqrt{1+ab},~x_2=\frac{-2+2 \sqrt{1+ab}}{2}=-1+ \sqrt{1+ab}.[/math]

Остаётся разобраться, что следует из натуральности хотя бы одного из корней. Можно это сделать? :)

Автор:  Diego_D [ 28 мар 2016, 16:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Avgust, СПАСИБО Вам большое! Вы действительно правы.

Автор:  swan [ 28 мар 2016, 16:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Andy, вы получили частный случай общего решения.
Уравнение имеет решение, когда ab+1 - полный квадрат.
Но это слишком сильное условие. Уравнение будет иметь решение и при более мягких ограничениях.

Автор:  Andy [ 28 мар 2016, 16:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

swan, я рассмотрел только случай [math]x=y.[/math] Теперь можно положить для определенности, что [math]x<y,~y=x+n,~n \in \mathbb{N}[/math] и продолжить.

Это я к тому, что решение задачи можно свести к исследованию квадратного трёхчлена. При [math]x=y[/math] это удалось. Правда, явное выражение для связи между [math]a[/math] и [math]b[/math] мы пока не имеем.

Автор:  swan [ 28 мар 2016, 17:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Andy, мне кажется (точнее я почти уверен), что это тупиковый путь.
Потому что полное решение, в том или ином виде, должно быть эквивалентно приведенному мной, то есть сводиться к факторизации ab+1 и рассмотрению его делителей.
Как с помощью квадратных трехчленов решить задачу факторизации - я не представляю.

Автор:  Andy [ 28 мар 2016, 17:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

swan, при [math]y=x+n[/math] получим уравнение
[math]ax^2+(2+an)x+(n(a+1)-b)=0.[/math]

Можно ведь установить, когда оно имеет корни, в частности, натуральные? Есть ведь ещё и теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами... :)

Автор:  Diego_D [ 28 мар 2016, 17:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

ВСЕМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО!
Хочу добавить одно условие.

[math]ab+1=2^a[/math]

Автор:  Andy [ 28 мар 2016, 17:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

Diego_D писал(а):
ВСЕМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО!
Хочу добавить одно условие.

[math]ab+1=2^a[/math]

А это условие откуда взялось? :)

Автор:  Diego_D [ 28 мар 2016, 17:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

[math]x+y+axy=b[/math], где [math]ab+1=2^a[/math]

При каких заданных натуральных значениях a и b, уравнение имеет хотя бы одно решение в области
натуральных чисел? Найти x, y. Сначала надо найти связь между a и b. А потом x и y выразить через a и b.

Я понял, без условия задача теряется.

Страница 3 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/