Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить уравние
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=38690
Страница 1 из 2

Автор:  Nas_tya+- [ 27 янв 2015, 22:45 ]
Заголовок сообщения:  Решить уравние

Решить уравнение
Изображение

Автор:  ALEXIN [ 28 янв 2015, 01:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

Nas_tya+-

Пишу как курица лапой!

log_3(x) = 2/(1 + log_x(27)) + 6/(3 + log_3(x))
log_3(x) = 2/log_x(27x) + 6/log_3(27x)
log_3(x) = 2log_27x(x) + 6log_27x(3)

log_3(x) = 2/3log_3x(x) + 6/3log_3x(3)
log_3(x) = 8/3log_3x(3x) = 8/3

x = 3^(8/3) = 18,72075….

Автор:  Avgust [ 28 янв 2015, 02:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

Немножко неверно.
Перепишем уравнение так:

[math]\frac{\ln(x)}{\ln(3)}-\frac{2}{1+\frac{\ln(27)}{\ln(x)}}=\frac{6}{3+\frac {\ln(x)}{\ln(3)}}[/math]

Если это дело упрощать и приводить к общему знаменателю, то:

[math]\frac{\ln(x)\left [ \ln(x)+\ln(27)-2\ln(3)\right ]-6\ln^2(3)}{\ln(3) \left [ \ln(x)+\ln(27)\right ]}[/math]

ОДЗ: [math]\ln(x)\ne -\ln(27)[/math]

То есть [math]x \ne \frac{1}{27}[/math]

Приравниваем числитель нулю и получим:

[math]\ln^2(x)+\ln(3)\cdot \ln(x)-6\ln^2(3)=0[/math]

Имеем квадратное уравнение относительно ln(x). Ищем два корня:

[math]\ln(x_1)=-\ln(27)\, \to \qquad x_1=\frac{1}{27}[/math]

Этот корень отбрасываем, так как он не проходит по ОДЗ.

[math]\ln(x_2)=\ln(9)\, \to \qquad x_2=9[/math]

Последнее и есть ответ: [math]x=9[/math]

Автор:  mad_math [ 28 янв 2015, 11:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

Avgust
А нафига всё приводить к натуральному основанию, и потом таскать за собой [math]\ln 3[/math] и иже с ним?

[math]\log_3x-\frac{2}{1+\frac{\log_327}{\log_3x}}=\frac{6}{3+\log_3x}[/math]

[math]\log_3x-\frac{2\log_3x}{\log_3x+3}-\frac{6}{3+\log_3x}=0[/math]

[math]\frac{\log^2_3x+3\log_3x-2\log_3x-6}{\log_3x+3}=0[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& \log^2_3x+\log_3x-6=0 \\& \log_3x+3\ne 0\end{aligned}\right.[/math]

Из первого уравнения [math]\log_3x=2,\,\log_3x=-3[/math] второе не подходит.

Остаётся [math]\log_3x=2\Rightarrow x=9[/math]

Ну и не забыть про ОДЗ: [math]x>0,\,x\ne 1[/math]. Хотя оно тут ни на что не влияет.

Автор:  Avgust [ 28 янв 2015, 13:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

mad_math, наши методы одинаковые по сути, но автору темы полезно знать разные хитрости.

Автор:  mad_math [ 28 янв 2015, 13:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

Это не хитрость. Это нерациональное решение.

Автор:  ALEXIN [ 28 янв 2015, 16:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

ALEXIN писал(а):
Nas_tya+-

log_3(x) = 2/(1 + log_x(27)) + 6/(3 + log_3(x))
log_3(x) = 2/log_x(27x) + 6/log_3(27x)
log_3(x) = 2log_27x(x) + 6log_27x(3)
log_3(x) = 2/3log_3x(x) + 6/3log_3x(3)
log_3(x) = 8/3log_3x(3x) = 8/3
x = 3^(8/3) = 18,72075….


Почему мысль на лету не ловите? Только городите огороды!
Вся задача для устного счёта в уме:
log_3(x) = 2/(1 + log_x(27)) + 6/(3 + log_3(x))
log_3(x) = 2/log_x(27x) + 6/log_3(27x)
log_3(x) = 2log_27x(x) + 6log_27x(3) = log_27x(x^2) + log_27x(3^6)
log_3(x) = log_27x(x * x) + log_27x(27 * 27) = 2log_27x(27x) = 2
x = 3^2 = 9

Автор:  Avgust [ 28 янв 2015, 19:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

mad_math, очень многое зависит от привычки. Я себя уверенно чувствую, оперируя только натуральными логарифмами и с ними практически никогда не ошибаюсь. Мне спасибо говорить надо, приговаривая: "Вот Август решает пример нерационально, но ответ получает правильный".

Автор:  mad_math [ 28 янв 2015, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

Avgust писал(а):
mad_math, очень многое зависит от привычки. Я себя уверенно чувствую, оперируя только натуральными логарифмами и с ними практически никогда не ошибаюсь.
Ваши личные привычки не делают решение через натуральный логарифм более рациональным. Вы производите при этом лишние действия.

ALEXIN
В первый класс младшей школы! Живо!

Автор:  ALEXIN [ 29 янв 2015, 12:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить уравние

Не ведомо Вам озарение, считаетe как робот!

log_3(x) = 2/(1 + log_x(27)) + 6/(3 + log_3(x))
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lo ... 28x%29%29+

ALEXIN часто страдает из-за своего простодушия.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/