| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказать, что справедливо неравенство (...) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=36853 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Noqrax [ 19 ноя 2014, 00:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказать, что справедливо неравенство (...) |
Здраствуйте, недавно решал неравенство, ну и "решил" его не так, как стоило было (дефолтное решение простое и элегантное, как всегда). По сути, меня интересует: верно ли моё решение. ![]() Задание: Доказать, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство: [math]{{a}^2 + ab + {b}^2} \ge 3(a + b - 1)[/math] Моё решение: 1) Введем переменную [math]t = a + b[/math]; 2) Допустим, что есть действительные значения t при, которых верно [math]{t}^2 < 3(t - 1)[/math]; 3) Преобразуем неравенство: [math]t^2 - t + t < 3(t - 1);[/math] [math]t(t - 1) + t < 3(t - 1);[/math] [math](t - 1)(3 - t) > t;[/math] [math](*) -(t - 1)(t - 3) > t;[/math] 4) [math](**) f(t) = -(t - 1)(t - 3)[/math] - парабола ветви которой направлены вниз; 5) Найдем координату [math]f(t)[/math] вершины [math]A[/math] параболы (**): [math]D = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4;[/math] [math]|[/math] [math]a = -1; b = 4; c = -3;[/math] [math]{f(t)_{A}}= -\frac{D}{4a} = 1;[/math] 6) Рассмотрел два случая: [math]t \le 1[/math] и [math]t > 1[/math]: при [math]t \le 1[/math] неравенство (*) неверно, т.к. парабола (**) пересекает прямую [math]f(t) = t[/math]; при [math]t > 1[/math] неравенство (*) так же неверно, потому что парабола (**) расположена ниже прямой [math]f(t) = t[/math]; Из вышесказанного допущение сделанное в пункте 2 данного решения - неверно, а следовательно исходное неравенство справедливо при всех действительных значениях [math]a[/math] и [math]b[/math]. P.S. Собственно можно было бы решить аналогично и без допущения сделанного во втором пункте решения, но я написал, так, как решал первоначально. Спасибо за внимание. Жду ваших замечаний.
|
|
| Автор: | Shadows [ 19 ноя 2014, 11:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что справедливо неравенство (...) |
Если [math]t=a+b[/math], тo неравенство не сводится к [math]t^2<3(t-1)[/math], так как [math]a^2+ab+b^2 \ne (a+b)^2[/math]. И ваше решение неверно. Да и при решении неравенста [math]t^2<3(t-1)[/math] Вас куда-то понесло. Лучше докажите, что [math](a+b)^2-3(a+b)+3 \ge ab[/math], воспользуясь тем, что [math]4ab \le (a+b)^2[/math] |
|
| Автор: | Noqrax [ 19 ноя 2014, 11:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что справедливо неравенство (...) |
Shadows писал(а): Если t=a+b, тo неравенство не сводится к [math]t^2<3(t-1)[/math], так как [math]a^2+ab+b^2 \ne (a+b)^2[/math]. И ваше решение неверно. Эх, это всё моя невнимательность, я решал неправильно списанное задание... ![]() Shadows писал(а): Да и при решении неравенста [math]t^2<3(t-1)[/math] Вас куда-то понесло. Мне нагляднее было работать с горизонтальной прямой [math]f(t) = t[/math]. Так или иначе, я понял свои ошибки. Спасибо. |
|
| Автор: | andrei [ 19 ноя 2014, 14:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказать, что справедливо неравенство (...) |
[math]a^{2}+ab+b^{2}-3(a+b-1)=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(a-1)(b-1) \geqslant 2(a-1)(b-1)+(a-1)(b-1)=3(a-1)(b-1)[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|