| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задачи на делимость http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=36639 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | mad_math [ 09 ноя 2014, 17:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Задачи на делимость |
Доброго времени суток, уважаемые соучастники! Продолжаю я мучить учебник Макарычева (или он меня) и попалась мне опять задача на делимость, на которой я зависла: Докажите, что при любом целом значении [math]n[/math] выражение [math]2n^2-n^4-n^2[/math] делится на 36. Меня хватило на разложение этого счастья на множители [math]2n^6-n^4-n^2=n^2(n^2-1)(2n^2+1)[/math], тогда [math]n(n^2-1)[/math] делится на 6, как произведение трёх последовательных чисел. А дальше, как я остальное ни крутила, не получается доказать, что и оно делится на 6. Может я вообще не в ту сторону иду? Подкиньте идею, пожалуйста. Спасибо за внимание. P.S.: Задача для 8 класса, метод мат индукции и т.п. использовать нельзя, только признаки и свойства делимости. |
|
| Автор: | vorvalm [ 09 ноя 2014, 17:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи на делимость |
mad_math писал(а): Задача для 8 класса, метод мат индукции и т.п. использовать нельзя, только признаки и свойства делимости. Надо рассмотреть два варианта. 1) n - четное и 2) нечетное. |
|
| Автор: | zxcqwe [ 09 ноя 2014, 17:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи на делимость |
В лоб здесь работает так-то. 2n^3+n делится на 3, простым перебором можно (2*0+0 = 0; 2*(-1)-1 = -3;2*1+1 = 3).Если n нечётное, то n(n-1)(n+1) делится на 4. Если чётное, то 2n^3+n даёт вторую двойку. |
|
| Автор: | Shadows [ 09 ноя 2014, 17:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи на делимость |
Достаточно доказать делимость на 4 и на 9. Типа, если n не делится на 3, то и [math]n^2-1[/math], и [math]2n^2+1[/math] делярся на 3. Аналогично делимость на 4. Квараты нечетных чисел дают остаток 1 по модулю 4 , а также квадраты чисел, не делящихся на 3 дают остаток 1 по модулю 3. |
|
| Автор: | mad_math [ 09 ноя 2014, 18:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задачи на делимость |
Shadows писал(а): Достаточно доказать делимость на 4 и на 9. Спасибо. А я что-то на свойстве делимости на 6 зациклилась.
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|