Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачи на делимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=36639
Страница 1 из 1

Автор:  mad_math [ 09 ноя 2014, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Задачи на делимость

Доброго времени суток, уважаемые соучастники!
Продолжаю я мучить учебник Макарычева (или он меня) и попалась мне опять задача на делимость, на которой я зависла:
Докажите, что при любом целом значении [math]n[/math] выражение [math]2n^2-n^4-n^2[/math] делится на 36.

Меня хватило на разложение этого счастья на множители [math]2n^6-n^4-n^2=n^2(n^2-1)(2n^2+1)[/math], тогда [math]n(n^2-1)[/math] делится на 6, как произведение трёх последовательных чисел. А дальше, как я остальное ни крутила, не получается доказать, что и оно делится на 6.

Может я вообще не в ту сторону иду?
Подкиньте идею, пожалуйста.
Спасибо за внимание.
P.S.: Задача для 8 класса, метод мат индукции и т.п. использовать нельзя, только признаки и свойства делимости.

Автор:  vorvalm [ 09 ноя 2014, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи на делимость

mad_math писал(а):
Задача для 8 класса, метод мат индукции и т.п. использовать нельзя, только признаки и свойства делимости.

Надо рассмотреть два варианта. 1) n - четное и 2) нечетное.

Автор:  zxcqwe [ 09 ноя 2014, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи на делимость

В лоб здесь работает так-то. 2n^3+n делится на 3, простым перебором можно (2*0+0 = 0; 2*(-1)-1 = -3;2*1+1 = 3).Если n нечётное, то n(n-1)(n+1) делится на 4. Если чётное, то 2n^3+n даёт вторую двойку.

Автор:  Shadows [ 09 ноя 2014, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи на делимость

Достаточно доказать делимость на 4 и на 9. Типа, если n не делится на 3, то и [math]n^2-1[/math], и [math]2n^2+1[/math] делярся на 3. Аналогично делимость на 4. Квараты нечетных чисел дают остаток 1 по модулю 4 , а также квадраты чисел, не делящихся на 3 дают остаток 1 по модулю 3.

Автор:  mad_math [ 09 ноя 2014, 18:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачи на делимость

Shadows писал(а):
Достаточно доказать делимость на 4 и на 9.
Спасибо. А я что-то на свойстве делимости на 6 зациклилась.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/