Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=36485
Страница 1 из 2

Автор:  mitek [ 03 ноя 2014, 08:20 ]
Заголовок сообщения:  Решение уравнения

Добрый день!
Попался очень интересный пример.
[math]x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}[/math]
Интересно, сколько методов решений имеет пример?

Автор:  mad_math [ 03 ноя 2014, 09:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

От того, что вы несколько раз повторите слово "пример", в чём он состоит, понятнее не станет.

Автор:  pewpimkin [ 03 ноя 2014, 16:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

Изображение

Еще один способ

Автор:  mitek [ 05 ноя 2014, 19:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

pewpimkin and Li6-D - Молодцы! :)
Это самые простые и доступные способы решения.
Есть по крайней мере еще 5 способов.(не блефую).
Любимое уравнение со школы. :)

Автор:  mitek [ 15 дек 2014, 16:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

Li6-D
Почему убрали решение?

Автор:  mitek [ 09 мар 2015, 16:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

Раз Li-6D убрал решение, придется его восстановить.

II способ решения
[math]x + \frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{35}}{{12}}[/math]
ОДЗ: X>1
Возведя обе части данного уравнения в квадрат, получим уравнение
[math]{x^2}+ \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}+ \frac{{{x^2}}}{{{x^2}- 1}}= \frac{{1225}}{{144}}[/math] или
[math]\frac{{{x^4}}}{{{x^2}- 1}}+ \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{1225}}{{144}}[/math]
Далее, это уравнение можно решать по-разному. Рассмотрим 2 подварианта:

а) Это квадратное уравнение относительно
[math]\frac{{{x^2}}}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}\rangle 0[/math]
Решив его, получим:
[math]\frac{{{x^2}}}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{25}}{{12}}[/math]
Записав последнее уравнение в виде, и решив его,как квадратное относительно [math]\sqrt{{x^2}- 1}\rangle 0[/math]
[math]12\left({{x^2}- 1}\right) - 25\sqrt{{x^2}- 1}+ 12 = 0[/math],
найдем, что оно равносильно совокупности двух уравнений:
[math]\left\{\begin{gathered}\sqrt{{x^2}- 1}= \frac{4}{3}\hfill \\ \sqrt{{x^2}- 1}= \frac{3}{4}\hfill \\ \end{gathered}\right\}[/math]

Решив эти уравнения, найдем:
[math]{x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]

б) Добавим единицу +1 в левую и правую части уравнения, получим:
[math]\frac{{{x^4}}}{{{x^2}- 1}}+ \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}+ 1 = \frac{{1225}}{{144}}+ 1[/math]
[math]{\left({\frac{{{x^2}}}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}+ 1}\right)^2}={\left({\frac{{37}}{{12}}}\right)^2}[/math]
Решив его, получим:
[math]\frac{{{x^2}}}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{25}}{{12}}[/math]
Все остальное решение повторяется тем же методом, что описан выше.

Ответ: [math]{x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]

Автор:  mitek [ 09 мар 2015, 16:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

III способ.
[math]x + \frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{35}}{{12}}[/math]
ОДЗ: X>1
Перенесем x в правую часть, тогда уравнение примет вид:
[math]\frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{35}}{{12}}- x[/math]

Возводя обе части уравнения в квадрат, и приведя подобные члены, получим уравнение:
[math]{x^4}- \frac{{35}}{6}{x^3}+ \frac{{937}}{{144}}{x^2}+ \frac{{35}}{6}x - \frac{{1225}}{{144}}= 0[/math]

Будем решать это уравнение методом неопределенных коэффициентов.
[math]{x^4}- \frac{{35}}{6}{x^3}+ \frac{{937}}{{144}}{x^2}+ \frac{{35}}{6}x - \frac{{1225}}{{144}}= \left({{x^2}+ ax + b}\right)\left({{x^2}+ cx + d}\right)[/math]

Получится система уравнений:
[math]\left\{\begin{gathered}a + c = - \frac{{35}}{6}\hfill \\ b + d + ac = \frac{{937}}{{144}}\hfill \\ ad + bc = \frac{{35}}{6}\hfill \\ bd = - \frac{{1225}}{{144}}\hfill \\ \end{gathered}\right\}\to \left\{\begin{gathered}a = c = - \frac{{35}}{{12}}\hfill \\ b = \frac{{25}}{{12}}\hfill \\ d = - \frac{{49}}{{12}}\hfill \\ \end{gathered}\right\}[/math]

Получим следующую систему уравнений:
[math]\left\{\begin{gathered}{x^2}- \frac{{35}}{{12}}x + \frac{{25}}{{12}}= 0 \hfill \\{x^2}- \frac{{35}}{{12}}x - \frac{{49}}{{12}}= 0 \hfill \\ \end{gathered}\right\}[/math]
Решая первое уравнение, получим [math]{x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]
Второе уравнение системы также решается, но проверкой убеждаемся, что данные корни не являются корнями исходного уравнения.
Ответ: [math]{x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]

Автор:  mitek [ 09 мар 2015, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

IV способ.
[math]x + \frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{35}}{{12}}[/math]

ОДЗ: X>1

Сделаем замену неизвестной [math]\sqrt{{x^2}- 1}= t[/math]>0,
откуда [math]x = \sqrt{{t^2}+ 1}[/math]

Тогда уравнение можно переписать в виде:
[math]\begin{gathered}\sqrt{{t^2}+ 1}+ \frac{{\sqrt{{t^2}+ 1}}}{t}= \frac{{35}}{{12}}\hfill \\ \frac{{\sqrt{{t^2}+ 1}\left({t + 1}\right)}}{t}= \frac{{35}}{{12}}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Возведя обе части данного уравнения в квадрат, получим уравнение:
[math]144\left({{t^2}+ 1}\right)\left({{t^2}+ 2t + 1}\right) - 1225{t^2}= 0[/math]

Данное уравнение не имеет корня t=0, поэтому разделив его на [math]{t^2}[/math], получим равносильное ему уравнение:
[math]144\left({t + \frac{1}{t}}\right)\left({t + 2 + \frac{1}{t}}\right) = 1225[/math]

Делая замену неизвестной [math]y = t + \frac{1}{t}[/math], где y>0
получим уравнение 144y(y+2)=1225 или

[math]144{y^2}+ 288y - 1225 = 0[/math]
решая которое, получим два корня [math]{y_1}= \frac{{25}}{{12}}[/math] и [math]{y_2}= - \frac{{49}}{{12}}[/math]
Поскольку y > 0, второй корень не годится. Тогда, возвращаясь к замене неизвестной, получим:
[math]t + \frac{1}{t}= \frac{{25}}{{12}}[/math], решив его найдем [math]{t_1}= \frac{4}{3}[/math] и [math]{t_2}= \frac{3}{4}[/math]
Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений:
[math]\left\{\begin{gathered}{x^2}- 1 = \frac{{16}}{9}\hfill \\{x^2}- 1 = \frac{9}{{16}}\hfill \\ \end{gathered}\right\}[/math]
Решая уравнения, получим {[math]x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]
Ответ: [math]x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]

Автор:  mitek [ 09 мар 2015, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

V способ (графический):
[math]x + \frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{35}}{{12}}[/math]

ОДЗ: X > 1

Перенесем x в правую часть, тогда уравнение примет вид:
[math]\frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{35}}{{12}}- x[/math]

Рассмотрим функцию y1 и построим график:
[math]{y_1}= \frac{{35}}{{12}}- x[/math]

[math]\begin{array}{*{20}{c}}x_1 \\{{y_1}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{13|12}\\{22|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{14|12}\\{21|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{15|12}\\{20|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{16|12}\\{19|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{17|12}\\{18|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{18|12}\\{17|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{19|12}\\{16|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{20|12}\\{15|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{21|12}\\{14|12}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{22|12}\\{13|12}\end{array}[/math]

Рассмотрим функцию y2 и построим график:
[math]{y_2}= \frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}[/math]

[math]\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{{y_2}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{13|12}\\{\frac{{13}}{5}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{14|12}\\{\frac{7}{{\sqrt{13}}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{15|12}\\{\frac{{20}}{{12}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{16|12}\\{\frac{4}{{\sqrt 7}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{17|12}\\{\frac{{17}}{{\sqrt{145}}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{18|12}\\{\frac{3}{{\sqrt 5}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{19|12}\\{\frac{{19}}{{\sqrt{217}}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{20|12}\\{\frac{{15}}{{12}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{21|12}\\{\frac{7}{{\sqrt{33}}}}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{22|12}\\{\frac{{11}}{{\sqrt{85}}}}\end{array}[/math]

Видно даже в таблицах, что графики функций y1и y2 пересекаются в двух точках [math]{x_1}= \frac{{15}}{{12}}[/math] и [math]{x_2}= \frac{{20}}{{12}}[/math]

[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]

Ответ: [math]{x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]

Автор:  mitek [ 13 мар 2015, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение уравнения

VI способ.
[math]x + \frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}= \frac{{35}}{{12}}[/math]

ОДЗ: X>1
Сделаем замену неизвестной [math]y = \frac{x}{{\sqrt{{x^2}- 1}}}[/math]>0, тогда исходное уравнение примет вид:
[math]x + y = \frac{{35}}{{12}}[/math]

Представим левую часть уравнения в виде квадратов двух функций, а именно:
[math]{(x)^2}+{(y)^2}={x^2}+{y^2}={x^2}+ \frac{{{x^2}}}{{{x^2}- 1}}= \frac{{{x^2}\left({{x^2}- 1}\right) +{x^2}}}{{{x^2}- 1}}={x^2}\frac{{{x^2}}}{{{x^2}- 1}}={x^2}{y^2}[/math]

Возведем в квадрат преобразованное уравнение, получим:
[math]\begin{gathered}{\left({x + y}\right)^2}={\left({\frac{{35}}{{12}}}\right)^2}\hfill \\{x^2}+{y^2}+ 2xy = \frac{{1225}}{{144}}\hfill \\{x^2}{y^2}+ 2xy = \frac{{1225}}{{144}}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Решая уравнение относительно xy, получим уравнение:
[math]\left({xy - \frac{{25}}{{12}}}\right)\left({xy + \frac{{49}}{{12}}}\right) = 0[/math]

Второй множитель уравнения не имеет решения, тогда получим:
[math]\begin{gathered}xy - \frac{{25}}{{12}}= 0 \hfill \\ xy = \frac{{25}}{{12}}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Получим следующую систему уравнений:
[math]\left\{\begin{gathered}x + y = \frac{{35}}{{12}}\hfill \\ xy = \frac{{25}}{{12}}\hfill \\ \end{gathered}\right\}[/math]

Решая систему уравнений, получим [math]{x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]

Ответ: [math]{x_1}= \frac{5}{3}[/math] и [math]{x_2}= \frac{5}{4}[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/