Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Базовый уровень ЕГЭ2015
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=36158
Страница 1 из 1

Автор:  tsa53 [ 18 окт 2014, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Базовый уровень ЕГЭ2015

Кто сможет решить "простенькую" задачку?
Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими
свойствами:
1) сумма цифр числа А делится на 8;
2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8;
3) число А меньше 3000.
В ответе укажите ровно одно такое число.

Автор:  3D Homer [ 18 окт 2014, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Базовый уровень ЕГЭ2015

Есть четыре случая:

(1) прибавление 2 не генерирует перенос;
(2) прибавление 2 генерирует перенос в первом (т.е. правом) разряде;
(3) прибавление 2 генерирует перенос в первых двух разрядах;
(4) прибавление 2 генерирует перенос в первых трех разрядах.

Случай (1) невозможен, так как сумма цифр увеличивается на 2.

В случае (2) число имеет вид [math]\overline{abc8}[/math] или [math]\overline{abc9}[/math]. (Под [math]\overline{abcd}[/math] имеется в виду число [math]1000a+100b+10c+d[/math] и подразумевается, что [math]0\le a,b,c,d\le9[/math].) Результат сложения — [math]\overline{ab(c+1)0}[/math] или [math]\overline{ab(c+1)1}[/math]. В обоих случаях сумма цифр уменьшилась на 7, поэтому этот случай также невозможен.

В случае (3) число имеет вид [math]\overline{ab98}[/math] или [math]\overline{ab99}[/math], а результат сложения есть [math]\overline{a(b+1)00}[/math] или [math]\overline{a(b+1)01}[/math]. Сумма цифр уменьшилась на 16, поэтому этот вариант возможен.

Наконец, в случае (4) число имеет вид [math]\overline{a998}[/math] или [math]\overline{a999}[/math], а результат сложения есть [math]\overline{(a+1)000}[/math] или [math]\overline{(a+1)001}[/math]. Сумма цифр уменьшилась на 25, поэтому этот вариант невозможен.

Возвращаясь к варианту (3), число есть [math]\overline{ab98}[/math] или [math]\overline{ab99}[/math], [math]1\le a\le 2[/math], а [math]b\le 8[/math]. Кроме того, [math]a+b+9+8=a+b+17[/math] или [math]a+b+9+9=a+b+18[/math] делится на 8. Отсюда в первом случае [math]a+b=7[/math] или [math]a+b=15[/math], а во втором случае [math]a+b=6[/math] или [math]a+b=14[/math]. Но [math]a\le2[/math] делает невозможным [math]a+b=15[/math] и [math]a+b=14[/math], поэтому или число есть [math]\overline{ab98}[/math] и [math]a+b=7[/math], или число есть [math]\overline{ab99}[/math] и [math]a+b=6[/math]. Первый вариант дает 1698 и 2598, а второй — 1599 и 2499.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/