Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=36041
Страница 1 из 1

Автор:  bitsjule [ 12 окт 2014, 19:15 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение

Положительное число [math]x[/math] таково, что [math]x^2+\frac{1}{x^2}=7[/math]. Докажите, что число [math]x^5+\frac{1}{x^5}[/math] - целое, и вычислите его.

Автор:  radix [ 12 окт 2014, 19:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

1. Данное выражение возведите в квадрат.
2. Из данного выражения еще найдите, чему равно [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math]
3. Искомое выражение разложите по формуле
[math]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/math]

Автор:  bitsjule [ 12 окт 2014, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

radix писал(а):
1. Данное выражение возведите в квадрат.
2. Из данного выражения еще найдите, чему равно [math]x+\frac{ 1 }{ x }[/math]
3. Искомое выражение разложите по формуле
[math]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/math]

выходит [math]x^5+\frac{ 1 }{ x^5 }[/math]=√7[math](49-x^3\frac{ 1 }{ x }+x^2\frac{ 1 }{ x^2 }-x\frac{ 1 }{ x^3 })[/math]. дальше я не знаю, как действовать

Автор:  radix [ 12 окт 2014, 23:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение

1. Возводим данное выражение в квадрат. Получаем:
[math]x^4+\frac{ 1 }{ x^4 }=47[/math]
2. Замечаем также, что [math]x^2+2+\frac{ 1 }{ x^2 }=9[/math],
отсюда [math]\left| x+\frac{ 1 }{ x } \right| =3[/math]
Модуль можно убрать, используя условие, что х - число положительное.
3.[math]x^5+\frac{ 1 }{ x^5 }=(x+\frac{ 1 }{ x } )(x^4-x^2+1-\frac{ 1 }{ x^2 }+\frac{ 1 }{ x^4 } )[/math]
Дальше, думаю, очевидно. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/