Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача про расстояние и скорость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=35185
Страница 1 из 1

Автор:  Sheykhnur [ 01 авг 2014, 13:05 ]
Заголовок сообщения:  Задача про расстояние и скорость

Задача: Первую половину пути Ефим ехал со скоростью 16 км/ч., а вторую половину пути ехал 24 км/ч., а Фома ехал весь путь со скоростью 20 км/ч. Кто быстрей приехал?.
Теперь вопрос: как, не зная расстояния и времени, которое они оба проехали, найти алгоритм решения?

Автор:  Andy [ 01 авг 2014, 13:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

Sheykhnur, обозначим через [math]x[/math] неизвестное расстояние. Тогда [math]\frac{x}{20}=\frac{5x}{100}[/math] - время (в часах), затраченное Фомой. Время, затраченное Ефимом, составляет [math]\frac{\frac{x}{2}}{16}+\frac{\frac{x}{2}}{24}=\frac{x}{32}+\frac{x}{48}=\frac{5x}{96}[/math]. Вам остаётся сравнить дроби [math]\frac{5x}{100}[/math] и [math]\frac{5x}{96}[/math], чтобы сделать вывод, кто приехал быстрей.

Автор:  victor1111 [ 01 авг 2014, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

Sheykhnur писал(а):
Задача: Первую половину пути Ефим ехал со скоростью 16 км/ч., а вторую половину пути ехал 24 км/ч., а Фома ехал весь путь со скоростью 20 км/ч. Кто быстрей приехал?.
Теперь вопрос: как, не зная расстояния и времени, которое они оба проехали, найти алгоритм решения?

Весь путь: 20t. Время Ефима в пути: 20t/(2*16) + 20t/(2*24)=(25/24)t, что больше, чем просто t.

Автор:  Sheykhnur [ 01 авг 2014, 15:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

А ведь на самом деле эта задача имеет и другое решение. Найдём НОК чисел 16, 24, 20. 16 = 2*2*2*2, 24 = 2*2*2*3, 20 = 2*2*5.
2*2*2*2*3*5 = 240
НОК (16; 24; 20) = 240
Итак, всё расстояние равно 240 км.
Найдём время, которое затратил на путь Ефим:
120 : 16 + 120 : 24 = 13,5 12,5 (ч)
Найдём время, которое затратил на путь Фома:
240 : 20 = 12 (ч)
Ответ: Фома приехал быстрей.
-----------
Теперь главный вопрос, как и где правильно использовать НОК и НОД? Я вот никак не мог догадаться до его использования и тоже стал решать через уравнения. А ведь это математика за 6 класс.

Автор:  victor1111 [ 01 авг 2014, 15:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

Sheykhnur писал(а):
А ведь на самом деле эта задача имеет и другое решение. Найдём НОК чисел 16, 24, 20. 16 = 2*2*2*2, 24 = 2*2*2*3, 20 = 2*2*5.
2*2*2*2*3*5 = 240
НОК (16; 24; 20) = 240
Итак, всё расстояние равно 240 км.
Найдём время, которое затратил на путь Ефим:
120 : 16 + 120 : 24 = 13,5 (ч)
Найдём время, которое затратил на путь Фома:
240 : 20 = 12 (ч)
Ответ: Фома приехал быстрей.
-----------
Теперь главный вопрос, как и где правильно использовать НОК и НОД? Я вот никак не мог догадаться до его использования и тоже стал решать через уравнения. А ведь это математика за 6 класс.

Не 13,5 (ч), но 12,5 (ч).

Автор:  Sheykhnur [ 01 авг 2014, 16:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

Да, извиняюсь, поправил. Но главный вопрос остаётся в силе. Это что получается, наименьшее общее кратное есть весь путь, который они проделали? Я просто автоматом стал решать эту задачу физически, а оказывается, что её нужно решать математически. Если кто может, обоснуйте математическое решение, пожалуйста.

Автор:  andrei [ 01 авг 2014, 18:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

Тут все просто.Заметьте,что [math]20=\frac{ 16+24 }{ 2 }[/math].
Решим задачу в общем виде - пусть имеется дорога длиной [math]2a[/math],скорости [math]v_{1};v_{2}[/math] и средняя ариметическая скорость [math]\frac{ v_{1}+v_{2} }{ 2 }[/math].
Тогда время,за которое 1-ый ездок преодолеет половину дороги со скоростью [math]v_{1}[/math],а вторую половину дороги со скоростью [math]v_{2}[/math] будет равно

[math]\frac{ a(v_{1}+v_{2}) }{ v_{1}v_{2} }[/math]

Откуда средняя скорость при таком методе движения будет [math]\frac{ 2v_{1}v_{2} }{ v_{1} + v_{2} }[/math] что есть среднее гармоническое от [math]v_{1}[/math] и [math]v_{2}[/math].
Сравнивая среднюю арифметическую скорость и среднюю гармоническую,найдем,что средняя гармоническая меньше средней арифметической.

Автор:  dobby [ 01 авг 2014, 21:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

delete

Автор:  Andy [ 02 авг 2014, 20:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про расстояние и скорость

Sheykhnur, уравнение как таковое в предложенном мной способе решения задачи не составляется. Можно в конце концов принять [math]x=1[/math] км. Что касается использования НОД и НОК, то они неявным образом присутствуют при сравнении дробей. Кстати, если эти понятия вводятся в шестом классе, то уравнения появляются ещё в начальной школе. Если не ошибаюсь, в четвёртом классе.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/