Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Для скольких натуральных чисел их произведение делится М?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=35063
Страница 1 из 3

Автор:  dasha math [ 17 июл 2014, 00:48 ]
Заголовок сообщения:  Для скольких натуральных чисел их произведение делится М?

Очень нуждаюсь в помощи со след. каверзной задачей:
Число N равно произведение 2014 простых чисел (не обязательно различных). Каждое
из этих простых чисел увеличили на 1 и перемножили 2014 новых чисел получив число М.
Для скольких натуральных чисел N число М делится на N?

Я совсем не знаю с чего начать...помогите,пожалуйста :blush:

Автор:  vorvalm [ 17 июл 2014, 06:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

Входит ли число 2 в произведение N ?
И уточните вопрос:
dasha math писал(а):
Для скольких натуральных чисел N число М делится на N?

Автор:  Andy [ 17 июл 2014, 06:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

dasha math, начните с изучения теории, хотя бы прочитав это: http://www.diary.ru/~eek/p85182052.htm. Если Вы не учитесь в школе с математическим уклоном, то вряд ли решите задачу скоро (если вообще решите). а если учитесь, то должны были систематически изучать специальные приёмы решения подобных задач. Так что не расстраивайтесь!.. :)

Автор:  Shadows [ 17 июл 2014, 07:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

На самом деле задачка очень простая и не требует специальных знаний теории чисел. Какое может быть наибольшее из этих простых? [math]P_n[/math]
[math]P_n \mid (P_1+1)(P_2+1)\cdots (P_n+1)[/math]
Все эти[math]P_i+1[/math] не делятся на [math]P_n[/math] - они меньше* (или...равны???), ну и [math]P_n+1[/math] не делится на [math]P_n[/math]
Так что [math]N=2^a3^b[/math] Дальше легко

Автор:  Andy [ 17 июл 2014, 08:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

Shadows, в условии задачи ведь не предполагается, что число [math]N[/math] содержит в своём каноническом разложении числа [math]2[/math] и [math]3[/math].

Автор:  Shadows [ 17 июл 2014, 09:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

В условии сказано, что N равно произведению простых чисел (можно и одинаковых). 2 и 3 являются простыми. Мы доказали, что другие простые содержать не может. Точнее, не может содержать простое больше 3. Потому что в противном случае все множители числа[math]M=(P_1+1)(P_2+1)\cdots (P_{2014}+1)[/math] будут взаимнопростыми с [math]P_{2014}[/math] -наибольшее из простых-и тогда M не может делится на N. (т.к N делиться на [math]P_{2014}[/math], а М-нет)

Автор:  Andy [ 17 июл 2014, 09:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

Shadows, честно говоря, я не вижу в Ваших сообщениях доказательства того, что только числа вида [math]N=2^a 3^b,~a\ne 0, b\ne 0,~a+b=2014[/math] (я правильно Вас понял?) удовлетворяют условию задачи. Хотя для меня это и неважно, но важно для автора вопроса.

Автор:  Shadows [ 17 июл 2014, 09:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

Andy, давайте на пальцах....допустим...наибольшее простое в каноническом разложении N - 101, например, неважно какое, но больше 3.
Найдите простое [math]P \le 101[/math], такое, что [math]101\mid (p+1)^k[/math]

Автор:  Andy [ 17 июл 2014, 09:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

Shadows, давайте предположим, что меня пугает один вид этих обозначений, потому что теории чисел я не изучал...

Автор:  Shadows [ 17 июл 2014, 09:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сложно даже как-то это озаглавить

Вертикальная палочка что ли? Означает делится- [math](p+1)^k[/math] делится на 101

[math](2+1)^k[/math] не делится на 101, [math](3+1)^k[/math] тоже, [math](5+1)^k,(7+1)^k,(11+1)^k,...(101+1)^k[/math]

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/