| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Неравенство с параметром http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=34562 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | victory19933 [ 18 июн 2014, 12:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Неравенство с параметром |
Найти а,при которых неравенство [math]\left| \frac{ x^2-x-2a }{ x-a} -1 \right|[/math] [math]\leqslant 2[/math] имеет единственное решение на отрезке [1;3] (ответ есть: а=3) |
|
| Автор: | pewpimkin [ 18 июн 2014, 23:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
Ошибка в записи условия: если бы было >=2, тогда ответ был бы при а=3. Картинка и решение завтра |
|
| Автор: | radix [ 18 июн 2014, 23:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
Как и в прошлой задаче, сначала раскрывайте модуль по схеме [math]\left| f(x) \right| \leqslant a \Leftrightarrow \left\{\!\begin{aligned}& f(x) \leqslant a \\ & f(x) \geqslant -a \end{aligned}\right.[/math] Затем в каждом неравенстве всё переносим в одну часть и приводим к общему знаменателю. У меня получилась такая система: [math]\left\{\!\begin{aligned}& \frac{x^2-3a}{x-a}\geqslant 0 \\ & \frac{(x-2)^2-(4-a)}{x-a}\leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math] Решать её можно как в предыдущей задаче или обычным методом интервалов. Основная сложность при решении состоит в том, что значения нулей числителя и знаменателя выражаются через параметр а. Это значит, что в каждом случае нужно решать вопрос о взаимном расположении точек на числовой оси. Заметим, что при а>0 числитель первой дроби раскладывается на множители [math](x-\sqrt{3a})(x+\sqrt{3a} )[/math] При а<4 числитель второй дроби раскладывается на множители [math](x-(2-\sqrt{4-a} ))(x-(2+\sqrt{4-a} ))[/math] Знаменатель обращается в ноль при х=а. Очевидно только взаимное расположение точек [math]-\sqrt{3a}[/math] и [math]\sqrt{3a}[/math] (при а>0, разумеется) А также точек [math]2-\sqrt{4-a}[/math] и [math]2+\sqrt{4-a}[/math] Остальные нужно сравнивать. Я напишу два сравнения. При решении использован знак [math]\lor[/math], который нужно понимать как знак, замещающий какой-либо из знаков сравнения >, <, и т.д. При решении неравенств допускаются любые действия, кроме умножения на отрицательное число. Таким образом мы обеспечим то, что знак неравенства в последней строке можно будет применить и к первой. Итак, решим вопрос о том, как расположены точки [math]\sqrt{3a}[/math] и [math]2-\sqrt{4-a}[/math] При 0<a<4: [math]\sqrt{3a} \lor 2-\sqrt{4-a}[/math] [math]\sqrt{3a} +\sqrt{4-a} \lor 2[/math] обе части больше нуля. Возводим в квадрат [math]2\sqrt{3a(4-a)} > -2a-2[/math] - так как правая часть отрицательна, а левая - положительна. Это значит, что при любом а [math]\sqrt{3a}>2-\sqrt{4-a}[/math] Ещё сравним [math]a[/math] и [math]\sqrt{3a}[/math]: При a>0: [math]a \lor \sqrt{3a}[/math] обе части положительны, возводим в квадрат [math]a^2 \lor 3a[/math] [math]a(a-3) \lor 0[/math] Здесь будет знак [math]<[/math] при 0<a<3 и знак [math]>[/math] при a>3 Так нужно сравнить все нули числителя и знаменателя. А после применяем метод интервалов. |
|
| Автор: | radix [ 19 июн 2014, 00:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
1. При a=0. Просто подставляем значение параметра и решаем систему. Ответ получается [math]x \in (0;4][/math] Очевидно, что условие задачи не выполняется, и на интервале [1;3] есть множество решений неравенства. 2. При a<0 числитель первой дроби всегда положителен. Поэтому система принимает вид: [math]\left\{\!\begin{aligned}& x-a>0 \\ & (x-(2-\sqrt{4-a}) )(x+(2+\sqrt{4-a})) \leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math] Решаем методом интервалов. При a<0, [math]a<2-\sqrt{4-a}[/math]. Поэтому решением в этом случае будет интервал [math]x \in [2-\sqrt{4-a};2+\sqrt{4-a} ][/math] Единственная возможность выполнения условия задачи - это чтоб левый конец этого интервала был равен 3, или правый конец равен 1. (Представьте решение на числовой оси) Только в этом случае в интервал [1;3] попадёт единственное решение. Проверкой убеждаемся, что обе эти ситуации невозможны. Значит, a<0 - не подходит. 3. Если 0<a<4. Система принимает вид: [math]\left\{\!\begin{aligned}& \frac{(x+\sqrt{3a})(x-\sqrt{3a})}{x-a}\geqslant 0 \\ & \frac{(x-(2-\sqrt{4-a}))(x-(2+\sqrt{4-a}))}{x-a}\leqslant 0 \end{aligned}\right.[/math] Этот пункт придётся разбить на подпункты. Это связано с различным взаимным расположением точек-нулей числителя и знаменателя на числовой оси в зависимости от значения а. 3.1 При 0<a<2 ... 3.2 При а=2 ... 3.3 При 2<a<3 ... 3.4 При а=3 ... 3.5 При 3<a<4 ... 4. При а=4 ... 5. При а>4 ... Для каждого случая нужно повторить рассуждения, аналогичные п.2. Вот, как то так. Решение не трудное, но очень долгое. Может, можно и проще, но я не знаю. |
|
| Автор: | radix [ 19 июн 2014, 00:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
pewpimkin писал(а): Ошибка в записи условия: если бы было >=2, тогда ответ был бы при а=3. По Вольфраму - ответ подходит к условию. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 19 июн 2014, 00:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
Да опять условие прочитал не так, прочитал , как в предыдущем вопросе. Тогда все нормально . Решал я графически. Там все очень просто. Завтра отвечу. Сканер уже неохота включать. Если бы условие было, как в предыдущем вопросе, то ответ был бы тоже а=3. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 19 июн 2014, 00:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
В графическом решении нужно всего-то нарисовать два графика а=х^2/3 и а=-х^2+4х |
|
| Автор: | pewpimkin [ 19 июн 2014, 11:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
![]()
|
|
| Автор: | victory19933 [ 21 июн 2014, 21:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неравенство с параметром |
pewpimkin radix извините,что сразу не поблагодарила.. не ожидала что и со второй так быстро поможете! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|